Mặt phẳng (P) song song SA, AB( Rightarrow left( P right)//left( {SAB} right))
Ta có: (left{ begin{array}{l}left( P right)//left( {SAB} right)left( P right) cap left( {ABCD} right) = MNleft( {SAB} right) cap left( {ABCD} right) = ABend{array} right. Rightarrow MN//AB) và
(left{ begin{array}{l}left( P right) cap left( {SCD} right) = PQleft( P right) cap left( {ABCD} right) = MNleft( {SCD} right) cap left( {ABCD} right) = CDMN//CDleft( {//AB} right)end{array} right. Rightarrow PQ//CD//MN)
( Rightarrow MNPQ) là hình thang (left( {PQ//MN} right))
*) Tính độ dài các cạnh của hình thang MNPQ:
(dfrac{{MQ}}{{SA}} = dfrac{{MD}}{{AD}} = dfrac{{a – x}}{a}, Rightarrow MQ = dfrac{{a – x}}{a}.SA = dfrac{{a – x}}{a}.2a = 2left( {a – x} right))
(dfrac{{PN}}{{SB}} = dfrac{{CN}}{{BC}} = dfrac{{MD}}{{AD}} = dfrac{{a – x}}{a}, Rightarrow NP = dfrac{{a – x}}{a}.SB = dfrac{{a – x}}{a}.2a = 2left( {a – x} right))
(dfrac{{PQ}}{{CD}} = dfrac{{SQ}}{{SD}} = dfrac{{AM}}{{AD}} = dfrac{x}{a} Rightarrow PQ = dfrac{x}{a}.CD = dfrac{x}{a}.a = x)
Gọi (I = MN cap AC).
Ta có: (dfrac{{MI}}{{CD}} = dfrac{{AM}}{{AD}} = dfrac{x}{a} Rightarrow MI = dfrac{x}{a}.a = x), (dfrac{{NI}}{{AB}} = dfrac{{NC}}{{BC}} = dfrac{{MD}}{{AD}} = dfrac{{a – x}}{a} Rightarrow NI = dfrac{{a – x}}{a}.3a = 3left( {a – x} right))
( Rightarrow MN = x + 3left( {a – x} right) = 3a – 2x)
Ta thấy (MN > PQleft( {3a – 2x > x,,,forall x < a} right)) và (QM = PN = 2left( {a – x} right),, Rightarrow MNPQ) là hình thang cân.
*) Tìm x để MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn:
Để MNPQ ngoại tiếp được một đường tròn thì
( Leftrightarrow 3a – 2x + x = 2.2left( {a – x} right) Leftrightarrow 3a – x = 4a – 4x Leftrightarrow x = dfrac{a}{3})
*) Tính bán kính đường tròn:
Tâm đường tròn nội tiếp hình thang cân ABCD là trung điểm của đoạn thẳng H, K với H, K lần lượt là trung điểm của PQ và MN.
Khi đó, hình thang cân MNPQ có:(PQ = dfrac{a}{3},,,MN = dfrac{{7a}}{3},,,MQ = NP = dfrac{{4a}}{3})
(HK = sqrt {P{N^2} – {{left( {dfrac{{MN – PQ}}{2}} right)}^2}} = sqrt {{{left( {dfrac{{4a}}{3}} right)}^2} – {a^2}} = dfrac{{sqrt 7 a}}{3})
( Rightarrow OH = dfrac{1}{2}.dfrac{{asqrt 7 }}{3} = dfrac{{asqrt 7 }}{6})
Vậy, bán kính của đường tròn đó là: (dfrac{{asqrt 7 }}{6})
Chọn: B