a) Chứng minh tứ giác (BHEK) nội tiếp
Xét tam giác BHE và tam giác EKB có: (widehat {BHE} = 90^circ ,left( {EH bot AB} right)) và (widehat {EKB} = 90^circ ,left( {EK bot BC} right)) nên nội tiếp đường tròn đường kính BE.
Xét (Delta BHE) có (widehat {BHE} = 90^circ ,left( {EH bot AB} right)) nên (B,H,E) thuộc đường tròn đường kính (BE)
(Delta EKB) có (widehat {EKB} = 90^circ ,left( {EK bot BC} right)) nên (E,K,B) thuộc đường tròn đường kính (BE)
Do đó B, H, E, K cùng thuộc đường tròn đường kính BE hay tứ giác (BHEK) nội tiếp.
b) Chứng minh (BH.BA = BK.BC)
Xét (Delta BEC) và (Delta BKE) có:
(widehat {BEC} = widehat {BKE} = 90^circ ); (widehat {EBC}) là góc chung
Do đó (Delta BECbacksim Delta BKE)(g.g)
Suy ra (frac{{BE}}{{BK}} = frac{{BC}}{{BE}}) nên (B{E^2} = BK.BC) (left( 1 right))
Chứng minh tương tự ta được (B{E^2} = BH.BA) (left( 2 right))
Từ (left( 1 right)) và (left( 2 right)), suy ra: (BH.BA = BK.BC).
c) Kẻ đường cao (CF) của tam giác (ABCleft( {F in AB} right)) và (I) là trung điểm của (EF). Chứng minh ba điểm (H,I,K) thẳng hàng.
Theo câu a) ta có tứ giác (BHEK) nội tiếp nên (widehat {BHK} = widehat {BEK}) ((2) góc nội tiếp cùng chắn ) (left( 3 right))
Xét (Delta BEC) vuông tại (E) có (EK bot BC) nên (widehat {BEK} = widehat {ECB}) (cùng phụ (widehat {KEC})) (left( 4 right))
Xét (Delta BFC) có (widehat {BFC} = 90^circ left( {CF bot AB} right)) nên (B,F,C) thuộc đường tròn đường kính (BC)
Lại có (Delta BEC) có (widehat {BEC} = 90^circ left( {BE bot AC} right)) nên (B,E,C) thuộc đường tròn đường kính (BC)
Suy ra bốn điểm (B,F,E,C) cùng thuộc đường tròn đường kính (BC) hay tứ giác (BFEC) nội tiếp.
Suy ra (widehat {BFE} + widehat {BCE} = 180^circ ) (hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)
Mà (widehat {HFE} + widehat {BFE} = 180^circ ) (hai góc kề bù)
Do đó (widehat {BCE} = widehat {HFE}) (cùng bù với (widehat {BFE})) (left( 5 right))
Xét (Delta FHE) vuông tại (H) (left( {EH bot AB} right)) có (HI) là đường trung tuyến ứng với cạnh (EF) ((I) là trung
điểm của (EF)) nên (HI = IF = frac{{EF}}{2}) hay (Delta HIF) cân tại (I).
Do đó (widehat {IFH} = widehat {FHI}) hay (widehat {HFE} = widehat {FHI}) (left( 6 right))
Từ (left( 3 right)), (left( 4 right)), (left( 5 right)) và (left( 6 right)) suy ra (widehat {BHK} = widehat {BEK} = widehat {ECB} = widehat {HFE} = widehat {FHI}) hay (widehat {BHK} = widehat {FHI}).
Do đó (H,I,K) thẳng hàng.