1. Các kiến thức cần nhớ
Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức (P(y) = 2y + 6)
Giải
Từ (2y + 6 = 0 )(Rightarrow 2y = – 6 Rightarrow y = – dfrac{6}{2} = – 3)
Vậy nghiệm của đa thức (P(y)) là $- 3.$
Số nghiệm của đa thức một biến
Một đa thức (khác đa thức không) có thể có (1, 2, 3, …, n) nghiệm hoặc không có nghiệm nào.
Tổng quát: Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức (0)) không vượt qua bậc của nó.
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Kiểm tra xem x=a có là nghiệm của đa thức P(x) hay không?
Phương pháp:
Ta tính (Pleft( a right)), nếu (Pleft( a right) = 0) thì (x = a) là nghiệm của đa thức (Pleft( x right).)
Dạng 2: Tìm nghiệm của đa thức
Phương pháp:
Để tìm nghiệm của đa thức (Pleft( x right)), ta tìm giá trị của (x) sao cho (Pleft( x right) = 0.)
Dạng 3: Chứng minh đa thức không có nghiệm
Phương pháp:
Để chứng minh đa thức (Pleft( x right)) không có nghiệm, ta chứng minh (Pleft( x right)) nhận giá trị khác (0) tại mọi giá trị của (x.)
3. Sơ đồ tư duy
4. Các bài tập vận dụng
Câu 1. Cho đa thức sau : (f(x) = 3{x^2} + ,15x + 12). Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đã cho:
A. -9
B. 1
C. -1
D. -2
Lời giải
Ta có : f(-9) = 3. (-9)2 + 15 . (-9) + 12 = 3.81 + (-135) +12 = 120
f(1) = 3. 12 +15 . 1 + 12 = 30
f(-1) = 3. (-1)2 + 15. (-1) +12 = 0
f(-2) = 3. (-2)2 + 15. (-2) + 12 = -6
Vì f(-1) = 0 nên x = -1 là nghiệm của đa thức f(x)
Đáp án C
Câu 2. Tập nghiệm của đa thức (f(x) = (x + 14)(x – 4)) là:
A. ({rm{{ 4;}},{rm{14} }})
B. ({rm{{ }} – {rm{4;}},{rm{14} }})
C. ({rm{{ }} – {rm{4;}}, – {rm{14} }})
D. ({rm{{ 4;}}, – {rm{14} }})
Lời giải
(f(x) = 0 Rightarrow (x + 14)(x – 4) = 0 Rightarrow left[ begin{array}{l}x + 14 = 0x – 4 = 0end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}x = – 14x = 4end{array} right.)
Vậy tập nghiệm của đa thức f(x) là {4; -14}.
Đáp án D
Câu 3. Cho (P(x) = – 3{x^2} + 27). Hỏi đa thức P(x) có bao nhiêu nghiệm?
A. 1 nghiệm
B. 2 nghiệm
C. 3 nghiệm
D. Vô nghiệm
Lời giải
(P(x) = 0 Rightarrow – 3{x^2} + 27 = 0 Rightarrow – 3{x^2} = – 27 Rightarrow {x^2} = 9 Rightarrow left[ begin{array}{l}x = 3x = – 3end{array} right.)
Vậy đa thức P(x) có 2 nghiệm.
Đáp án B
Câu 4. Cho (Q(x) = a{x^2} – 3x + 9). Tìm a biết Q(x) nhận -3 là nghiệm
A. a = -1
B. a = -4
C. a = -2
D. a = 3
Lời giải
Q(x) nhận -3 là nghiệm nên Q(-3) = 0
(begin{array}{l} Rightarrow a.{( – 3)^2} – 3.( – 3) + 9 = 0 Rightarrow 9a + 9 + 9 = 0 Rightarrow 9a = – 18,, Rightarrow ,a = – 2end{array})
Vậy Q(x) nhận -3 là nghiệm thì (a = – 2).
Đáp án C
Câu 5. Tìm nghiệm của đa thức – x2 + 3x
A. x = 3
B. x = 0
C. x = 0; x = 3
D. x = -3; x = 0
Lời giải
Xét – x2 + 3x = 0
( Leftrightarrow ) x . (-x +3) = 0
( Leftrightarrow )(left[ {_{ – x + 3 = 0}^{x = 0}} right. Leftrightarrow left[ {_{x = 3}^{x = 0}} right.)
Vậy x = 0; x = 3
Đáp án C
Câu 6. Biết ((x – 1)f(x) = (x + 4)f(x + 8)). Vậy f(x) có ít nhất bao nhiêu nghiệm.
A. 1
B. 2
C. 4
D. f(x) có vô số nghiệm
Lời giải
Vì ((x – 1)f(x) = (x + 4)f(x + 8))với mọi x nên suy ra:
- Khi x – 1 = 0, hay x = 1 thì ta có:
((1 – 1).f(1) = (1 + 4)f(1 + 8) Rightarrow 0.f(1) = 5.f(9),,, Rightarrow f(9) = 0)
Vậy x = 9 là một nghiệm của f(x).
- Khi x + 4 = 0, hay x = -4 thì ta có: (( – 4 – 1).f( – 4) = ( – 4 + 4).f( – 4 + 8),,, Rightarrow – 5.f( – 4) = 0.f(4) Rightarrow f( – 4) = 0)
Vậy x = -4 là một nghiệm của f(x).
Vậy f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 9 và -4.
Đáp án B