Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và x0∈K . Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu x→x0limf(x)=f(x0).
Nhận xét: Để hàm số y=f(x) liên tục tại x0 thì phải có cả ba điều kiện sau:
1. Hàm số xác định tại x0 ; 2. Tồn tại x→x0limf(x) ; 3. x→x0limf(x)=f(x0).
Chú ý:
Khi hàm số y=f(x) không liên tục tại điểm x0 thì ta nói f(x) gián đoạn tại điểm x0 và x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b).
Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng [a;b].
Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và x→a+limf(x)=f(a), x→b−limf(x)=f(b).
Nhận xét: Đồ thị của hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] là một đường liền, có điểm đầu, điểm cuối (Hình 3).
Nếu hai điểm này nằm về hai phía so với trục hoành thì đường liền nói trên luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm. Điều này còn được phát biểu dưới dạng sau:
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c)=0.
- Hàm số đa thức y=P(x), các hàm lượng giác y=sinx,y=cosx liên tục trên R.
- Hàm số phân thức y=Q(x)P(x), hàm số căn thức y=√P(x), các hàm số lượng giác y=tanx,y=cotx liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng.
- Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.
Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.
- Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
- Các hàm số y=f(x)+g(x),y=f(x)−g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x0.
- Hàm số y=g(x)f(x) liên tục tại x0 nếu g(x0)=0.