a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên (widehat {ABC} + widehat {ACB} = 90^circ ) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Vì AI là phân giác của góc BAC nên (widehat {{A_1}} = frac{{widehat {BAC}}}{2} = frac{{90^circ }}{2} = 45^circ )
Vì BI là phân giác của góc ABC nên (widehat {{B_1}} = frac{{widehat {ABC}}}{2})
Vì CI là phân giác của góc ACB nên (widehat {{C_1}} = frac{{widehat {ACB}}}{2})
Gọi giao điểm của BI và AC là M.
Vì (widehat {{I_1}}) là góc ngoài của tam giác BIC
Nên (widehat {{I_1}} = widehat {{B_1}} + widehat {{C_1}} = frac{{widehat {ABC}}}{2} + frac{{widehat {ACB}}}{2} = frac{{widehat {ABC} + widehat {ACB}}}{2} = frac{{90^circ }}{2} = 45^circ )
Xét DICM và DACI có
(widehat {{A_1}} = widehat {{I_1}}left( { = 45^circ } right));
(widehat {IC{rm{A}}}) là góc chung
Do đó (g.g)
Suy ra (frac{{IC}}{{AC}} = frac{{CM}}{{CI}}) (tỉ số đồng dạng)
Hay CI2 = CM . AC, mà IC = 6 nên CM . AC = 36
Suy ra (CM = frac{{36}}{{AC}}).
Do BM là tia phân giác của (widehat {ABC}) nên ta có
(frac{{CB}}{{AB}} = frac{{CM}}{{MA}} Leftrightarrow frac{{BC}}{{BA + BC}} = frac{{CM}}{{MA + CM}} Leftrightarrow frac{{BC}}{{5 + BC}} = frac{{CM}}{{AC}})
Mà (CM = frac{{36}}{{AC}})
Suy ra (frac{{36}}{{A{C^2}}} = frac{{BC}}{{BC + 5}} Leftrightarrow frac{{36}}{{B{C^2} – A{B^2}}} = frac{{BC}}{{BC + 5}} Leftrightarrow frac{{36}}{{B{C^2} – 25}} = frac{{BC}}{{BC + 5}})
( Leftrightarrow frac{{36}}{{B{C^2} – 25}} = frac{{BCleft( {BC – 5} right)}}{{B{C^2} – 25}})
Suy ra BC(BC – 5) = 36
Hay BC2 – 5BC – 36 = 0
Suy ra BC = 9 (do BC > 0).
b) Kẻ CH ⊥ BI và CH cắt BA tại K.
Xét tam giác BCK có BH vừa là tia phân giác vừa là đường cao
Suy ra tam giác BCK cân tại B
Do đó BH là trung tuyến và BK = BC
Hay [CH = HK = frac{1}{2}CK]
Đặt BC = x
Ta có AK = BK – AB = BC – AB = x – AB
Ta có: (widehat {ABM} = widehat {HCM}) (cùng phụ với (widehat {BKC}))
Mà (widehat {ABM} = frac{1}{2}widehat {ABC}) nên (widehat {HCM} = frac{1}{2}widehat {ABC})
Ta có (widehat {HCI} = widehat {HCM} + widehat {MCI} = frac{1}{2}widehat {ABC} + frac{1}{2}widehat {ACB} = frac{1}{2}.90^circ = 45^circ )
Xét tam giác ICH vuông ở H có
(widehat {HIC} + widehat {HCI} = 90^circ ) (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)
Mà (widehat {HCI} = 45^circ ) nên (widehat {HIC} = 45^circ )
Suy ra (widehat {HCI} = widehat {HIC})
Do đó tam giác HIC vuông ở H, nên HI = HC
Xét tam giác ICH vuông ở H có
IC2 = HI2 + HC2 (định lí Pytago)
Hay 10 = 2HI2 (do (IC = sqrt {10} ))
Suy ra [HI = HC = sqrt 5 ]
Ta có [BH = BI + IH = sqrt 5 + sqrt 5 = 2sqrt 5 ];
[CK = 2CH = 2sqrt 5 ]
Xét tam giác BCH vuông ở H có
BC2 = HB2 + HC2 (định lí Pytago)
Hay BC2 = 20 + 5
Suy ra BC = 5.
Xét tam giác BCA vuông ở A có
BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pytago)
Hay 52 = AB2 + AC2 = 25
Xét tam giác AKC vuông ở A có
KC2 = AK2 + AC2 (định lí Pytago)
⇔ 20 = (BC – AB)2 + AC2
⇔ 20 = (5 – AB)2 + AC2
⇔ 20 = 25 – 10AB + AB2 + AC2
⇔ 20 = 25 – 10AB + 25
⇔ AB = 3
Khi đó (AC = sqrt {{5^2} – {3^2}} = 4)
Vậy AB = 3, AC = 4.