1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cho hàm số $y = fleft( x right)$, khi đó:
+) $f’left( x right) > 0$ trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.
+) $f’left( x right) < 0$ trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng (left( {a;b} right))
+) Để hàm số đồng biến trên khoảng $left( {a,b} right)$ thì $f’left( x right) ge 0,forall x in left( {a,b} right)$.
+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng $left( {a,b} right)$ thì $f’left( x right) le 0,forall x in left( {a,b} right).$
2. Cực trị của hàm số
Dấu hiệu 1:
+) Nếu $f’left( {{x_0}} right) = 0$ hoặc $f’left( x right)$ không xác định tại ${x_0}$ và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua ${x_0}$ thì ${x_0}$ là điểm cực đại của hàm số.
+) Nếu $f’left( {{x_0}} right) = 0$ hoặc $f’left( x right)$ không xác định tại ${x_0}$ và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua ${x_0}$ thì ${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Dấu hiệu 2:
Cho hàm số $y = fleft( x right)$ có đạo hàm đến cấp $2$ tại ${x_0}$.
+) ${x_0}$ là điểm cực đại $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f’left( {{x_0}} right) = 0f”left( {{x_0}} right) < 0end{array} right.$
+) ${x_0}$ là điểm cực tiểu $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}f’left( {{x_0}} right) = 0f”left( {{x_0}} right) > 0end{array} right.$
3. Giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số
Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:
*) Quy tắc chung: (Thường dùng cho $D$ là một khoảng)
– Tính $f’left( x right)$, giải phương trình $f’left( x right) = 0$ tìm nghiệm trên $D.$
– Lập BBT cho hàm số trên $D.$
– Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.
*) Quy tắc riêng: (Dùng cho $left[ {a;b} right]$) . Cho hàm số $y = fleft( x right)$ xác định và liên tục trên $left[ {a;b} right]$
– Tính $f’left( x right)$, giải phương trình $f’left( x right) = 0$ tìm nghiệm trên $left[ {a,b} right]$.
– Giả sử phương trình có các nghiệm ${x_1},{x_2},… in left[ {a,b} right]$.
– Tính các giá trị $fleft( a right),fleft( b right),fleft( {{x_1}} right),fleft( {{x_2}} right),…$.
– So sánh chúng và kết luận.
4. Tiệm cận của đồ thị hàm số
+) Đường thẳng $x = a$ là TCĐ của đồ thị hàm số $y = fleft( x right)$ nếu có một trong các điều kiện sau:
$mathop {lim }limits_{x to {a^ + }} y = + infty $ hoặc $mathop {lim }limits_{x to {a^ + }} y = – infty $ hoặc$mathop {lim }limits_{x to {a^ – }} y = + infty $ hoặc $mathop {lim }limits_{x to {a^ – }} y = – infty $
+) Đường thẳng $y = b$ là TCN của đồ thị hàm số $y = fleft( x right)$ nếu có một trong các điều kiện sau:
$mathop {lim }limits_{x to + infty } y = b$ hoặc $mathop {lim }limits_{x to – infty } y = b$
5. Bảng biến thiên và đồ thị hàm số
a) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$
b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương $y = a{x^4} + b{x^2} + c$
c) Các dạng đồ thị hàm số $y = dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$
+) Tập xác định: $D = Rbackslash left{ { – dfrac{d}{c}} right}$
+) Đạo hàm: $y = dfrac{{ad – bc}}{{{{left( {cx + d} right)}^2}}}$
– Nếu $ad – bc > 0$ hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư $2$ và $4.$
– Nếu $ad – bc < 0$ hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư $1$ và $3.$
+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: $x = – dfrac{d}{c}$ và TCN: $y = dfrac{a}{c}$
+) Đồ thị có tâm đối xứng: $Ileft( { – dfrac{d}{c};dfrac{a}{c}} right)$
6. Sự tương giao của đồ thị hàm số
a) Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số
Phương pháp:
Cho $2$ hàm số $y = fleft( x right),y = gleft( x right)$ có đồ thị lần lượt là $left( C right)$ và $left( {C’} right).$
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của $left( C right)$ và $left( {C’} right):$$fleft( x right) = gleft( x right),,,left( * right)$
+) Giải phương trình tìm $x$ từ đó suy ra $y$ và tọa độ giao điểm.
+) Số nghiệm của $left( * right)$ là số giao điểm của $left( C right)$ và $left( {C’} right).$
b) Tương giao của đồ thị hàm số bậc ba
Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng $Fleft( {x,m} right) = 0$ (phương trình ẩn $x$ tham số $m$)
+) Cô lập $m$ đưa phương trình về dạng $m = fleft( x right)$
+) Lập BBT cho hàm số $y = fleft( x right)$.
+) Dựa vào giả thiết và BBT từ đó suy ra $m.$
*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi $m$ độc lập với $x.$
Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.
+) Lập phương trình hoành độ giao điểm $Fleft( {x,m} right) = 0$
+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử $x = {x_0}$ là $1$ nghiệm của phương trình.
+) Phân tích: $Fleft( {x,m} right) = 0 Leftrightarrow left( {x – {x_0}} right).gleft( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = {x_0}gleft( x right) = 0end{array} right.$ ($gleft( x right) = 0$ là phương trình bậc $2$ ẩn $x$ tham số $m$).
+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc $2$ $gleft( x right) = 0$.