Tao biết đây là câu hỏi thường gặp (FAQ). Nhưng mà tao lục lọi cả mạng rồi vẫn không thấy lời giải thích nào thuyết phục được thắc mắc của tao. Nhiều chỗ trong bài chứng minh phản chứng này nó cứ lằng nhằng thế nào ấy.
Bài chứng minh:
Giả sử √2 là số hữu tỉ, nghĩa là tồn tại một cặp số nguyên mà tỉ số của chúng bằng √2. Vậy thì √2 có thể viết dưới dạng phân số tối giản a/b sao cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau (không có ước số chung nào khác 1). Suy ra a²/b²=2, và do đó a²=2b². Vì thế a² là số chẵn. Suy ra a cũng phải là số chẵn (vì bình phương của số lẻ không bao giờ là số chẵn). Vì a là số chẵn, nên tồn tại số nguyên k sao cho a=2k. Thay 2k vào a trong phương trình thứ hai: 2b²=(2k)² tức là 2b²=4k², vậy b²=2k². Vì 2k² chia hết cho 2 và do đó là số chẵn, và vì 2k²=b², nên suy ra b² cũng là số chẵn, nghĩa là b cũng là số chẵn. Vậy cả a và b đều là số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a/b là phân số tối giản như đã nêu ban đầu.
Những điểm thắc mắc:
“Cả a và b đều là số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a/b là phân số tối giản”. Nhưng mà… chia cả a và b cho 2, ta vẫn được phân số tối giản a/b. Vậy thì mâu thuẫn ở đâu? Ví dụ: 2/6 là số hữu tỉ. Chia cả tử và mẫu cho 2 ta được 1/3 (vẫn là số hữu tỉ). Nên việc cả a và b đều là số chẵn chẳng chứng minh được cái gì cả.
Với bài chứng minh này, bạn cũng có thể chứng minh được căn bậc hai của 4 là số vô tỉ. Tao nghĩ là bạn sẽ có được kết luận tương tự (điều này là sai, vì căn bậc hai của 4 là số hữu tỉ). Nếu bạn áp dụng bài chứng minh này với căn bậc hai của 4 thì sao? Có lẽ bạn sẽ được kết quả gì đó kiểu 8/2? Cả hai đều là số chẵn, nhưng chia cho 2 thì được 4/1, tức là 4.
Giả thiết rằng a/b phải là phân số tối giản nghe có vẻ hơi gượng ép. Thực tế là một số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số a/b không rút gọn về phân số tối giản. Ví dụ: 2/6 hoặc 6/2. Ở Ý, kiểu phân số này được gọi là phân số biểu kiến (ở tiếng Anh tao chưa tìm thấy khái niệm tương tự). Nên bất kỳ phân số biểu kiến nào như 2/6 đều có thể được đổi thành phân số tối giản.
Tao đang thiếu sót gì vậy? Cảm ơn trước bất kỳ câu trả lời thuyết phục nào sẽ giải đáp dứt điểm những thắc mắc này cho tao.