a) Đúng. (overrightarrow {AB} left( { – 1,1,0} right),overrightarrow {BC} left( {1, – 3,2} right),overrightarrow {CA} left( {0,2, – 2} right))( Rightarrow AB = sqrt 2 ,BC = sqrt {14} ,CA = 2sqrt 2 )
(begin{array}{l}p = dfrac{{AB + BC + CA}}{2} = dfrac{{3sqrt 2 + sqrt {14} }}{2} Rightarrow {S_{Delta ABC}} = sqrt {pleft( {p – AB} right)left( {p – BC} right)left( {p – CA} right)} = sqrt 3 end{array})
b) Đúng. (cos BAC = dfrac{{B{A^2} + A{C^2} – B{C^2}}}{{2BA.AC}} = dfrac{{2 + 8 – 14}}{{2.sqrt 2 .2sqrt 2 }} = – dfrac{1}{2} Rightarrow angle BAC = {120^0})
c) Sai. Tọa độ trọng tâm G là (Gleft( {dfrac{{2 + 1 + 2}}{3},dfrac{{1 + 2 – 1}}{3},dfrac{{1 + 1 + 3}}{3}} right) = left( {dfrac{5}{3},dfrac{2}{3},dfrac{5}{3}} right))
d) Sai. (overrightarrow {AB} left( { – 1,1,0} right) Rightarrow overrightarrow {{u_1}} = left( { – dfrac{1}{{sqrt 2 }},dfrac{1}{{sqrt 2 }},0} right)) là vecto đơn vị của (overrightarrow {AB} )
(overrightarrow {AC} left( {0, – 2,2} right) Rightarrow overrightarrow {{u_2}} = left( {0,dfrac{{ – 1}}{{sqrt 2 }},dfrac{1}{{sqrt 2 }}} right)) là vecto đơn vị của (overrightarrow {AC} )
Khi đó vecto chỉ phương của phân giác góc BAC là
(left[ begin{array}{l}overrightarrow u = overrightarrow {{u_1}} + overrightarrow {{u_2}} = left( { – dfrac{1}{{sqrt 2 }},0,dfrac{1}{{sqrt 2 }}} right) = dfrac{1}{{sqrt 2 }}left( { – 1,0,1} right)overrightarrow u = overrightarrow {{u_1}} – overrightarrow {{u_2}} = left( { – dfrac{1}{{sqrt 2 }},dfrac{2}{{sqrt 2 }}, – dfrac{1}{{sqrt 2 }}} right) = – dfrac{1}{{sqrt 2 }}left( {1, – 2,1} right)end{array} right.)
TH1: (overrightarrow {{u_{BD}}} = left( { – 1,0,1} right)) thì BD có dạng (left{ begin{array}{l}x = 2 – ty = 1z = 1 + tend{array} right.)
Gọi (D) thuộc phân giác có tọa độ (Dleft( {2 – t,1,1 + t} right) Rightarrow overrightarrow {CD} left( { – t,2,t – 1} right),overrightarrow {BC} left( {1, – 3,2} right))
Do B,C,D thẳng hàng nên (overrightarrow {CD} = koverrightarrow {BC} Leftrightarrow left{ begin{array}{l} – t = k.12 = k.left( { – 3} right)t – 1 = k.2end{array} right.) (vô lý vì không có t, k thỏa mãn)
TH2: (overrightarrow {{u_{BD}}} = left( {1, – 2,1} right)) thì BD có dạng (left{ begin{array}{l}x = 2 + ty = 1 – 2tz = 1 + tend{array} right.)
(Dleft( {2 + t,1 – 2t,1 + t} right) Rightarrow overrightarrow {CD} left( {t,2 – 2t,t – 2} right))
Do B,C,D thẳng hàng nên (overrightarrow {CD} = koverrightarrow {BC} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}t = k.12 – 2t = k.left( { – 3} right)t – 2 = k.2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}t = – 2k = – 2end{array} right.)
( Rightarrow Dleft( {0,5, – 1} right))