Tin Tức

Câu 123. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: a) Phương trình mặt phẳng (ABC) là 3 x + y + 5 z − 10 = 0 . b) Bốn điểm A,B,C,D tạo thành tứ diện. c) Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có một vectơ pháp tuyến là a = ( 4 ; − 2 ; 7 ) . d) Có 2 mặt phẳng đi qua 2 điểm A, B sao cho khoảng cách từ C và D đến mặt phẳng đó bằng nhau và 2 mặt phẳng này đều đi qua điểm M(1;2;1).

Posted on by admin

Đề bài

Cho 4 điểm A(1;2;1), B(−2;1;3), C(2;−1;1), D(0;3;1) trong không gian Oxyz. Xét tính đúng sai các khẳng định sau:

a) Phương trình mặt phẳng (ABC) là 3x+y+5z−10=0. b) Bốn điểm A,B,C,D tạo thành tứ diện. c) Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có một vectơ pháp tuyến là a=(4;−2;7). d) Có 2 mặt phẳng đi qua 2 điểm A, B sao cho khoảng cách từ C và D đến mặt phẳng đó bằng nhau và 2 mặt phẳng này đều đi qua điểm M(1;2;1).

a) Phương trình mặt phẳng (ABC) là 3x+y+5z−10=0

Giải:

  • Gọi mặt phẳng (ABC) có dạng ax+by+cz+d=0.
  • Ta cần kiểm tra xem các điểm A, B, C có thuộc mặt phẳng 3x+y+5z−10=0 không.

Kiểm tra điểm A(1;2;1): 3×1+2+5×1−10=3+2+5−10=0 (Đúng)

Kiểm tra điểm B(-2;1;3): 3×(−2)+1+5×3−10=−6+1+15−10=0 (Đúng)

Kiểm tra điểm C(2;-1;1): 3×2+(−1)+5×1−10=6−1+5−10=0 (Đúng)

=> Cả 3 điểm đều thuộc mặt phẳng này.

Kết luận: Khẳng định a Đúng.

b) Bốn điểm A,B,C,D tạo thành tứ diện

Giải:

  • 4 điểm tạo thành tứ diện khi không đồng phẳng.
  • Kiểm tra xem điểm D có thuộc mặt phẳng (ABC) không:

Thay D(0;3;1) vào phương trình mặt phẳng (ABC): 3×0+3+5×1−10=0+3+5−10=−2=0

=> D không thuộc mặt phẳng (ABC), nên 4 điểm không đồng phẳng.

Kết luận: Khẳng định b Đúng.

c) Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có một vectơ pháp tuyến là a<path d=’M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5

3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z’/>=(4;−2;7)

Giải:

  • Mặt phẳng chứa AB: chứa đường thẳng AB.

  • Song song với CD: mặt phẳng song song với vectơ CD.

  • Vectơ chỉ phương của AB: AB=B−A=(−2−1;1−2;3−1)=(−3;−1;2)

  • Vectơ chỉ phương của CD: CD=D−C=(0−2;3−(−1);1−1)=(−2;4;0)

  • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa AB và song song với CD là tích có hướng của AB và CD:

n=AB×CD

Tính tích có hướng: n=∣∣​i−3−2​j​−14​k20​∣∣​

=i((−1)×0−2×4)−j​((−3)×0−2×(−2))+k((−3)×4−(−1)×(−2))

=i(0−8)−j​(0+4)+k(−12−2)

=(−8;−4;−14)

  • Vectơ pháp tuyến a=(4;−2;7) không cùng phương với (−8;−4;−14).

Kết luận: Khẳng định c Sai.

d) Có 2 mặt phẳng đi qua 2 điểm A, B sao cho khoảng cách từ C và D đến mặt phẳng đó bằng nhau và 2 mặt phẳng này đều đi qua điểm M(1;2;1).

Giải:

  • Điểm M(1;2;1) trùng với điểm A(1;2;1), nên mọi mặt phẳng qua A,B đều qua M.
  • Mặt phẳng qua A,B có dạng: ax+by+cz+d=0, thỏa mãn A và B.
  • Khoảng cách từ C và D đến mặt phẳng bằng nhau.
  • Có 2 mặt phẳng như vậy (do đối xứng qua đường AB).

Kết luận: Khẳng định d Đúng.

Tóm tắt đáp án

  • a) Đúng
  • b) Đúng
  • c) Sai
  • d) Đúng