Lời giải
a) Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB
Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét ΔAEH vuông tại H có HE ⊥ AC
Suy ra AH2 = AE . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Mà AH2 = AD . AB (chứng minh trên)
Suy ra AD . AB = AE . AC
b) Vì ΔABC vuông tại A nên AB2 + AC2 = BC2 (định lý Pytago)
Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC
Suy ra AB2 = BH . BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇔ AB2 . BC = BH . BC2
( Leftrightarrow frac{{BH}}{{BC}} = frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}})
( Leftrightarrow frac{{BH}}{{BC – BH}} = frac{{A{B^2}}}{{B{C^2} – A{B^2}}})
( Leftrightarrow frac{{BH}}{{HC}} = frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = {left( {frac{{AB}}{{AC}}} right)^2})
c) Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC
Suy ra AH2 = BH . HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay AH2 = 4 . 9 = 36
Suy ra AH = 6
Xét tứ giác ADHE có (widehat {DAE} = widehat {A{rm{D}}H} = widehat {A{rm{E}}H} = 90^circ )
Suy ra ADHE là hình chữ nhật
Mà AH, DE là hai đường chéo
Suy ra DE = AH = 6 (cm)
Vì ΔABH vuông tại H nên HB2 + AH2 = BA2 (định lý Pytago)
Hay 42 + 62 = AB2
Suy ra (AB = 2sqrt {13} )
Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB
Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Hay ({6^2} = A{rm{D }}.{rm{ }}2sqrt {13} )
Suy ra (A{rm{D = }}frac{{18}}{{sqrt {13} }})
Xét tam giác ADE vuông tại A có
({rm{cos}}widehat {A{rm{D}}E} = frac{{A{rm{D}}}}{{DE}} = frac{{18}}{{6sqrt {13} }} = frac{3}{{sqrt {13} }})
Suy ra (widehat {A{rm{D}}E} approx 33^circ ).
d) Vì ra ADHE là hình chữ nhật có AH, DE là hai đường chéo
Suy ra AH cắt DE tại trung điểm O của mỗi đường
Mà AH = DE
Do đó OH = OD
Suy ra tam giác OHD cân tại O
Suy ra (widehat {OH{rm{D}}} = widehat {O{rm{D}}H})
Xét ΔHBD vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
Suy ra (DM = MH = frac{1}{2}BH = frac{1}{2}.4 = 2)
Do đó ΔDMH cân tại M
Suy ra (widehat {MDH} = widehat {MH{rm{D}}})
Mà (widehat {DHA} + widehat {MH{rm{D}}} = widehat {AHB} = 90^circ ) và (widehat {AH{rm{D}}} = widehat {{rm{ED}}H})(chứng minh trên)
Suy ra (widehat {H{rm{D}}E} + widehat {M{rm{DH}}} = widehat {M{rm{D}}E} = 90^circ )
Hay MD ⊥ DE.
Chứng minh tương tự ta có (EN = frac{{CH}}{2} = frac{9}{2} = 4,5)
và (widehat {DEH} + widehat {HEN} = widehat {AHE} + widehat {{rm{EHN}}} = widehat {AHC} = 90^circ )
Hay (widehat {DEN} = 90^circ )
Suy ra EN ⊥ DE
Mà MD ⊥ DE
Nên EN // MD (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Xét tứ giác DENM có EN ⊥ DE, EN // MD (chứng minh trên)
Suy ra DENM là hình thang vuông
Do đó ({S_{DENM}} = frac{{left( {DM + EN} right).DE}}{2} = frac{{left( {2 + 4,5} right).6}}{2} = 19,5,,left( {c{m^2}} right)) .