a) (A = frac{{8n + 193}}{{4n + 3}} = frac{{2.4n + 2.3 + 187}}{{4n + 3}})( = frac{{2.left( {4n + 3} right) + 187}}{{4n + 3}} = 2 + frac{{187}}{{4n + 3}})
Để (A in mathbb{N}) thì (frac{{187}}{{4n + 3}} in mathbb{N} Rightarrow 4n + 3 in Uleft( {187} right) = left{ {1;,,11;,,,17;,,187} right}) .
Vì (n in mathbb{N} Rightarrow 4n + 3 in left{ {11;,,17;,,187} right}.) Ta có bảng sau:
Vậy với (n in left{ {2;,,46} right}) thì phân số (A = frac{{8n + 193}}{{4n + 3}}) nhận giá trị là số tự nhiên.
b) Gọi (d) là ước nguyên tố của (8n + 193) và (4n + 3).
Ta có: (left{ begin{array}{l}8n + 193,, vdots ,,d4n + 3,, vdots ,,dend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}8n + 193,, vdots ,,d2.left( {4n + 3,} right), vdots ,,dend{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}8n + 193,, vdots ,,d8n + 6,, vdots ,,dend{array} right.)( Rightarrow left( {8n + 193} right) – left( {8n + 6} right),, vdots ,,d)
( Rightarrow 8n + 193 – 8n – 6,, vdots ,,d)
( Rightarrow 187,, vdots ,,d) mà (d) là số nguyên tố nên (d in left{ {11;,,17} right}.)
+) Với (d = 11 Rightarrow 4n + 3,, vdots ,,11 Rightarrow 4n + 3 – 11,, vdots ,,11)( Rightarrow 4n – 8,, vdots ,,11 Rightarrow 4.left( {n – 2} right),, vdots ,,11)
( Rightarrow n – 2,, vdots ,,11 Rightarrow n = 11k + 2,,left( {k in mathbb{N}} right))
+) Với (d = 17 Rightarrow 4n + 3,, vdots ,,17 Rightarrow 4n + 3 + 17,, vdots ,,17)( Rightarrow 4n + 20,, vdots ,,17 Rightarrow 4.left( {n + 5} right),, vdots ,,17)
( Rightarrow n + 5,, vdots ,,17 Rightarrow n + 5 = 17m Rightarrow n = 17m – 5,,left( {m in {mathbb{N}^*}} right))
( Rightarrow ) Phân số (A = frac{{8n + 193}}{{4n + 3}}) rút gọn được khi (n = 11k + 2,,left( {k in mathbb{N}} right)) và (n = 17m – 5,,left( {m in {mathbb{N}^*}} right))
Vậy (n ne 11k + 2,,left( {k in mathbb{N}} right)) và (n ne 17m – 5,,left( {m in {mathbb{N}^*}} right)) thì (A = frac{{8n + 193}}{{4n + 3}}) là phân số tối giản.
c) Để phân số (A = frac{{8n + 193}}{{4n + 3}}) rút gọn được thì (n = 11k + 2,,left( {k in mathbb{N}} right)) và (n = 17m – 5,,left( {m in {mathbb{N}^*}} right)).
Vì (n) trong khoảng từ (150) đến (170) nên:
+) (150 < n < 170 Rightarrow 150 < 11k + 2 < 170)( Rightarrow 148 < 11k < 168,,left( {k in mathbb{N}} right))( Rightarrow k in left{ {14;15} right} Rightarrow n in left{ {156;,,167} right})
+) (150 < n < 170 Rightarrow 150 < 17m – 5 < 170)( Rightarrow 155 < 17m < 175,,left( {m in mathbb{N}} right))( Rightarrow m = 10 Rightarrow n = 165)
Vậy (n in left{ {156;,165;,167} right}).