Bài toán: Tìm tập hợp các điểm $Mleft( a;b right)$ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị hàm số $left( C right):y=fleft( x right).$
Phương pháp: Xét đường thẳng qua qua $M(a;b)$ với hệ số góc $k$ là $y=k(x-a)+b.$
Xét hệ điều kiện tiếp xúc $left{ begin{gathered} fleft( x right) = kleft( {x – a} right) + b hfill f’left( x right) = k hfill end{gathered} right.$ hoặc phương trình hoành độ giao điểm $fleft( x right)=kleft( x-a right)+b$ có nghiệm kép để đưa về một phương trình $gleft( k right)=0left( * right).$
Vì hai tiếp tuyến vuông góc với nhau nên điều kiện là (*) có hai nghiệm ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1.$
Khoá học Toán 11 theo chương trình SGK mới
Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) – NXB GD Việt Nam
Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Chân Trời Sáng Tạo) – NXB GD Việt Nam
Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, tập 2) (Cánh Diều) – NXB ĐH Sư Phạm
Bạn đọc cùng theo dõi ví dụ dưới đây:
Ví dụ 1: Cho hàm số $y=dfrac{{{(x-1)}^{2}}}{x-2},$ có đồ thị $(C).$ Tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến $(C)$ là một đường tròn có phương trình là
A. ${{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4.$
C. ${{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4.$
B. ${{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=1.$
D. ${{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}=1.$
Giải. Đường thẳng qua $M(a;b)$ với hệ số góc $k$ là $y=k(x-a)+b.$
Ta có điều kiện tiếp xúc $dfrac{{{(x-1)}^{2}}}{x-2}=k(x-a)+bLeftrightarrow (k-1){{x}^{2}}+(b+2-k(a+2))x+2ak-2b-1=0$ có nghiệm kép, tức $Delta =0Leftrightarrow {{(b+2-k(a+2))}^{2}}-4(k-1)(2ak-2b-1)=0$
$Leftrightarrow {{(a-2)}^{2}}{{k}^{2}}+(4a+4b-2ab-4)k+{{b}^{2}}-4b=0.$
Vì hai tiếp tuyến kẻ từ $M$ vuông góc nên phương trình cuối phải có hai nghiệm phân biệt ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1,$ theo vi – ét ta có ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=dfrac{{{b}^{2}}-4b}{{{(a-2)}^{2}}}=-1Leftrightarrow {{(a-2)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}=4.$
Vậy $M$ thuộc đường tròn ${{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4.$ Chọn đáp án C.
Tự luyện:
Câu hỏi 1: Cho hàm số $y=dfrac{{{x}^{2}}}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $A(a;2).$ Có bao nhiêu giá trị của $a$ để có hai tiếp tuyến của $(C)$ qua $A$ và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
A. $2.$
B. $1.$
C. $4.$
D. $0.$
Câu hỏi 2: Cho hàm số $f(x)=x+dfrac{1}{x}$ có đồ thị $(C).$ Tập hợp tất cả các điểm $M(a;b)$ sao cho có đúng hai tiếp tuyến của $(C)$ qua $M$ và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó bằng
A. $1.$
B. $sqrt{2}.$
C. $2.$
D. $4.$
