Dạng bài tập này thuộc chương trình Toán học, cụ thể là phần Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Các lý thuyết chính bao gồm:
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Là một tập hợp gồm hai hoặc nhiều hơn hai phương trình bậc nhất hai ẩn mà các ẩn trong các phương trình đó phải cùng thỏa mãn. Mục tiêu là tìm ra cặp giá trị $(x; y)$ chung thỏa mãn tất cả các phương trình trong hệ.
Đại lượng tỉ lệ phần trăm: Các bài toán thực tế thường liên quan đến phần trăm tăng, giảm.
Nếu một đại lượng tăng $p%$ so với giá trị ban đầu $A$, thì giá trị mới sẽ là $A times (100% + p%) = A times (1 + frac{p}{100})$.
Nếu một đại lượng giảm $p%$ so với giá trị ban đầu $A$, thì giá trị mới sẽ là $A times (100% – p%) = A times (1 – frac{p}{100})$.
Phương pháp giải chung cho dạng bài này
Dạng bài “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” có một phương pháp giải chung, thường được thực hiện qua các bước sau:
Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
– Đọc kỹ đề bài: Xác định các đại lượng chưa biết cần tìm và gọi chúng là các ẩn (thường là $x, y$).
– Đặt đơn vị và điều kiện: Ví dụ, nếu $x, y$ là số sản phẩm, số người, thời gian, thì chúng phải là số dương ($x > 0, y > 0$). Tùy từng bài toán mà có thể có thêm điều kiện về số nguyên, giới hạn….
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
– Phân tích các mối quan hệ: Dựa vào các thông tin đã cho trong bài toán, dùng các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia, phần trăm, vận tốc-thời gian-quãng đường, năng suất-thời gian-khối lượng công việc,…) để biểu diễn các đại lượng khác thông qua các ẩn đã chọn và các số liệu đã biết.
Bước 3: Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
– Tìm các mối liên hệ độc lập: Từ các dữ kiện đã biểu diễn ở Bước 2, tìm ra ít nhất hai mối quan hệ độc lập (thường là hai câu hoặc hai ý trong đề bài) để hình thành hai phương trình.
– Viết hệ phương trình: Tập hợp các phương trình này lại thành một hệ.
Bước 4: Giải hệ phương trình.
Sử dụng các phương pháp đã học để giải hệ phương trình, phổ biến là:
– Phương pháp thế: Rút gọn một ẩn từ một phương trình và thế vào phương trình còn lại để đưa về phương trình một ẩn.
– Phương pháp cộng đại số: Nhân các phương trình với các số thích hợp để hệ số của một ẩn đối nhau hoặc bằng nhau, sau đó cộng hoặc trừ hai phương trình để triệt tiêu một ẩn.
Mục tiêu là tìm ra giá trị cụ thể cho $x$ và $y$.
Bước 5: Kiểm tra và kết luận.
– Kiểm tra điều kiện: So sánh nghiệm tìm được với các điều kiện đã đặt ra ở Bước 1 (ví dụ: $x, y$ có dương không, có phải là số nguyên không nếu yêu cầu…).
– Kiểm tra tính hợp lý: Đặt các giá trị $x, y$ vừa tìm được vào ngữ cảnh của bài toán ban đầu để xem chúng có hợp lý không.
– Kết luận: Trả lời đầy đủ câu hỏi của đề bài bằng lời văn.