Lời giải:
a) Đường tròn $(O)$ tiếp xúc với (AB.BC,CA) tại $D,E,F$, tức là $O$ là giao của ba đường phân giác tam giác $ABC$ và (ODperp AB, OFperp AC, OEperp BC)
Do đó: (widehat{ODA}+widehat{OFA}=90^0+90^0=180^0)
(Rightarrow ODAF) là tứ giác nội tiếp.
Hoàn toàn tương tự: (ODBE, OECF) nội tiếp.
Từ các tứ giác nội tiếp suy ra:
(left{begin{matrix} widehat{ODF}=widehat{OAF}=frac{widehat{A}}{2} widehat{ODE}=widehat{OBE}=frac{widehat{B}}{2}end{matrix}right.) (Rightarrow widehat{ODF}+widehat{ODE}=frac{widehat{A}}{2}+frac{widehat{B}}{2})
hay (widehat{EDF}=frac{widehat{A}+widehat{B}}{2})
Tương tự: (widehat{DEF}=frac{widehat{B}+widehat{C}}{2}) và (widehat{EFD}=frac{widehat{A}+widehat{C}}{2})
Vì $ABC$ là tam giác nhọn nên các góc đều nhỏ hơn $90^0$
(Rightarrow widehat{EDF}, widehat{DEF}, widehat{EFD}< 90^0)
(Rightarrow triangle DEF) có 3 góc nhọn.
b)
Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên (widehat{ABC}=widehat{ACB})
(Rightarrow widehat{ABC}=frac{180-widehat{BAC}}{2}=90^0-frac{widehat{A}}{2})
Tứ giác $ODAF$ nội tiếp (Rightarrow widehat{ADF}=widehat{AOF}=90^0-widehat{OAF}=90^0-frac{widehat{A}}{2})
Do đó: (widehat{ABC}=widehat{ADF}), hai góc này ở vị trí đồng vị nên (DFparallel BC)
c)
(left{begin{matrix} widehat{ABC}=widehat{ACB} widehat{ABC}=widehat{ADF}(text{theo phần b})end{matrix}right.) (Rightarrow widehat{ADF}=widehat{ACB}=widehat{FCB})
(Rightarrow BDFC) nội tiếp.
d)
$BD$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên (widehat{BDM}=widehat{DFI}=widehat{DFB}) (cùng chắn cung DI)
Mà do $BDFC$ nội tiếp nên (widehat{DFB}=widehat{DCB})
Từ đây suy ra (widehat{BDM}=widehat{DCB})
Xét tam giác $BDM$ và $BCD$ có:
(left{begin{matrix} angle text{B Chung} widehat{BDM}=widehat{BCD}(cmt)end{matrix}right.Rightarrow triangle BDMsim triangle BCD(g.g))
(Rightarrow frac{BD}{BC}=frac{BM}{BD}(1))
Do (DFparallel BCRightarrow frac{BD}{AB}=frac{CF}{AC}) (theo định lý Ta -let) mà (AB=ACRightarrow BD=CF(2))
Từ ((1); (2)Rightarrow frac{BD}{BC}=frac{BM}{CF}) (đpcm)