Điều Kiện để Phương Trình Bậc 3 Có 3 Nghiệm – Bí Quyết và Ứng Dụng

Điều Kiện Để Phương Trình Bậc 3 Có 3 Nghiệm

Cách Giải Tổng Quát Để Xác Định Nghiệm Thực Của Phương Trình Bậc 3

Bước 1: Đặt phương trình tổng quát

Phương trình bậc 3 có dạng:

[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 quad (a neq 0) ]

Bước 2: Tính đạo hàm của phương trình

Tính đạo hàm bậc nhất của phương trình:

[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c ]

Bước 3: Tính phân biệt thức (Delta’) của phương trình đạo hàm

Phân biệt thức của phương trình bậc 2 là:

[ Delta’ = b^2 – 3ac ]

Bước 4: Xét từng trường hợp của (Delta’)

• Trường hợp 1: (Delta’ > 0)
  • Đạo hàm bậc 2 có 2 nghiệm thực phân biệt, nghĩa là phương trình bậc 3 có hai điểm cực trị (1 cực đại và 1 cực tiểu).
  • Giải phương trình ( f'(x) = 0 ) để tìm hai nghiệm ( x_1 ) và ( x_2 ).
  • Tính giá trị của hàm số tại ( x_1 ) và ( x_2 ): [ f(x_1) = ax_1^3 + bx_1^2 + cx_1 + d ] [ f(x_2) = ax_2^3 + bx_2^2 + cx_2 + d ]
  • Nếu ( f(x_1) ) và ( f(x_2) ) có dấu trái ngược nhau, thì phương trình bậc 3 chắc chắn có 3 nghiệm thực phân biệt.
• Trường hợp 2: (Delta’ = 0)
  • Đạo hàm có nghiệm kép, nghĩa là phương trình bậc 3 có một điểm cực trị.
  • Phương trình có 1 nghiệm bội và 1 nghiệm thực đơn.
• Trường hợp 3: (Delta’ < 0)
  • Đạo hàm không có nghiệm thực, nghĩa là đồ thị của phương trình bậc 3 không có điểm cực trị.
  • Khi đó, phương trình bậc 3 chỉ có 1 nghiệm thực duy nhất và 2 nghiệm phức liên hợp.

Bước 5: Kết luận

• Nếu (Delta’ > 0) và dấu của hàm số tại các điểm cực trị trái ngược nhau, phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.
• Nếu (Delta’ = 0), phương trình có nghiệm bội (1 nghiệm bội hai hoặc bội ba).
• Nếu (Delta’ < 0), phương trình chỉ có 1 nghiệm thực và 2 nghiệm phức liên hợp.

Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1:

Xác định giá trị của ( m ) để hàm số sau có 3 nghiệm phân biệt:

[ f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x – m ]

Lời giải:

Để xác định giá trị của ( m ), ta cần tính đạo hàm của hàm số:

[ f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 ]

Để tìm điểm cực trị, giải phương trình:

[ 3x^2 – 12x + 9 = 0 ]

Chia phương trình cho 3:

[ x^2 – 4x + 3 = 0 ]

Giải phương trình bậc 2 bằng công thức nghiệm:

[ x = frac{-b pm sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} = frac{4 pm sqrt{(-4)^2 – 4 cdot 1 cdot 3}}{2 cdot 1} = frac{4 pm sqrt{16 – 12}}{2} = frac{4 pm 2}{2} ]

Kết quả sẽ là:

[ x_1 = 3 quad text{và} quad x_2 = 1 ]

Ta tính giá trị của hàm số ( f(x) ) tại các điểm cực trị:

1. Tại ( x = 3 ): [ f(3) = (3)^3 – 6(3)^2 + 9(3) – m = 27 – 54 + 27 – m = 0 – m = -m ] 2. Tại ( x = 1 ): [ f(1) = (1)^3 – 6(1)^2 + 9(1) – m = 1 – 6 + 9 – m = 4 – m ]

Để hàm số có 3 nghiệm phân biệt, giá trị ( f(3) ) và ( f(1) ) phải khác dấu:

[ (-m)(4 – m) < 0 ]

Giải bất phương trình này có hai trường hợp:

1. (-m < 0) và (4 – m > 0):

   • (m > 0) và (m < 4) ⇒ (0 < m < 4)

2. (-m > 0) và (4 – m < 0):

   • (m < 0) và (m > 4) ⇒ Không tồn tại giá trị nào

Kết luận:

Hàm số ( f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x – m ) có 3 nghiệm phân biệt khi:

[ 0 < m < 4 ]

Ví Dụ 2:

Tìm giá trị của ( m ) sao cho phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

[ 2x^3 + 3x^2 – 12x + 2m – 1 = 0 ]

Lời giải:

Đặt hàm số:

[ f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 12x + 2m – 1 ]

Để hàm số có 3 nghiệm phân biệt, ta cần sử dụng điều kiện về đạo hàm.

Tính đạo hàm của hàm số ( f(x) ):

[ f'(x) = 6x^2 + 6x – 12 ]

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình ( f'(x) = 0 ):

[ 6x^2 + 6x – 12 = 0 ]

Chia cả phương trình cho 6:

[ x^2 + x – 2 = 0 ]

Giải phương trình bậc 2 bằng công thức nghiệm:

[ x = frac{-b pm sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} ]

Áp dụng với ( a = 1, b = 1, c = -2 ):

[ x = frac{-1 pm sqrt{1^2 – 4 cdot 1 cdot (-2)}}{2 cdot 1} = frac{-1 pm sqrt{1 + 8}}{2} = frac{-1 pm 3}{2} ]

Kết quả sẽ là:

[ x_1 = 1 quad text{và} quad x_2 = -2 ]

Ta tính giá trị của hàm số ( f(x) ) tại các điểm cực trị:

1. Tại ( x = 1 ): [ f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 – 12(1) + 2m – 1 = 2 + 3 – 12 + 2m – 1 = 2m – 8 ] 2. Tại ( x = -2 ): [ f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 – 12(-2) + 2m – 1 = 2(-8) + 3(4) + 24 + 2m – 1 = -16 + 12 + 24 + 2m – 1 = 2m + 19 ]

Để hàm số có 3 nghiệm phân biệt, hai giá trị ( f(1) ) và ( f(-2) ) phải khác dấu:

[ (2m – 8)(2m + 19) < 0 ]

Giải bất phương trình:

Để giải bất phương trình ( (2m – 8)(2m + 19) < 0 ), ta tìm các nghiệm của:

1. ( 2m – 8 = 0 ) ⇒ ( m = 4 ) 2. ( 2m + 19 = 0 ) ⇒ ( m = -frac{19}{2} )

Các điểm phân chia là ( m = -frac{19}{2} ) và ( m = 4 ). Ta kiểm tra dấu của các khoảng:

• Khi ( m < -frac{19}{2} ), cả hai nhân đều âm, tích dương.
• Khi ( -frac{19}{2} < m < 4 ), một nhân dương một nhân âm, tích âm.
• Khi ( m > 4 ), cả hai nhân đều dương, tích dương.

Kết luận:

Hàm số ( 2x^3 + 3x^2 – 12x + 2m – 1 = 0 ) có 3 nghiệm phân biệt khi:

[ -frac{19}{2} < m < 4 ]

Ví Dụ 3:

Tìm các giá trị của ( m ) để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:

[ x^3 + x^2 – (m + 2)x + m = 0 ]

Lời giải:

Đặt hàm số:

[ f(x) = x^3 + x^2 – (m + 2)x + m ]

Để hàm số có ba nghiệm phân biệt, ta cần tính đạo hàm của hàm số:

[ f'(x) = 3x^2 + 2x – (m + 2) ]

Để tìm điểm cực trị, giải phương trình:

[ 3x^2 + 2x – (m + 2) = 0 ]

Áp dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc 2:

[ x = frac{-b pm sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} = frac{-2 pm sqrt{(2)^2 – 4 cdot 3 cdot (- (m + 2))}}{2 cdot 3} = frac{-2 pm sqrt{4 + 12(m + 2)}}{6} ]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần là:

[ b^2 – 4ac > 0 ] Tức là: [ 4 + 12(m + 2) > 0 ] [ 12(m + 2) > -4 ] [ m + 2 > -frac{1}{3} ] [ m > -frac{7}{3} ]

Tiếp theo, ta tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị để kiểm tra điều kiện tồn tại 3 nghiệm phân biệt:

Đặt các điểm cực trị:

[ x_1 = frac{-2 + sqrt{4 + 12(m + 2)}}{6}, quad x_2 = frac{-2 – sqrt{4 + 12(m + 2)}}{6} ]

Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị:

[ f(x_1) = x_1^3 + x_1^2 – (m + 2)x_1 + m ] [ f(x_2) = x_2^3 + x_2^2 – (m + 2)x_2 + m ]

Để hàm số có 3 nghiệm phân biệt, hai giá trị ( f(x_1) ) và ( f(x_2) ) phải khác dấu:

[ f(x_1) cdot f(x_2) < 0 ]

Để kiểm tra sự tồn tại nghiệm, cần xác định điều kiện:

[ (m + 2)^2 – 4m > 0 ] [ m^2 – 4m + 4 > 0 ]

Điều kiện này sẽ cho chúng ta:

[ (m – 2)^2 > 0 ]

Giải bất phương trình trên:

[ m neq 2 ]

Kết luận:

Hàm số ( x^3 + x^2 – (m + 2)x + m = 0 ) có 3 nghiệm phân biệt khi:

[ m > -frac{7}{3} quad text{và} quad m neq 2 ]