Một phần của loạt bài vềVi tích phân
- Định lý cơ bản
- Quy tắc tích phân Leibniz
Trong vi tích phân nói riêng, và trong giải tích toán học nói chung, tích phân từng phần là quá trình tìm tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Nó thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án có thể được tìm thấy dễ dàng hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.
Nếu u = u(x) và du = u′(x) dx, trong đó v = v(x) và dv = v′(x) dx, thì tích phân từng phần phát biểu rằng:
∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x = u ( b ) v ( b ) − u ( a ) v ( a ) − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x {displaystyle {displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}u(x)v'(x),dx&=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-int _{a}^{b}u'(x)v(x)dx&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-int _{a}^{b}u'(x)v(x),dxend{aligned}}}}
hay gọn hơn:
∫ u d v = u v − ∫ v d u . {displaystyle int u,dv=uv-int v,du.!}
Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjes và tích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng có mô hình rời rạc tương tự gọi là tổng từng phần.
Định lý có thể được suy ra như sau. Giả sử u(x) và v(x) là hai hàm khả vi liên tục. Quy tắc nhân phát biểu rằng (theo ký hiệu của Leibniz):
d d x ( u ( x ) v ( x ) ) = v ( x ) d d x ( u ( x ) ) + u ( x ) d d x ( v ( x ) ) . {displaystyle {frac {d}{dx}}{Big (}u(x)v(x){Big )}=v(x){frac {d}{dx}}left(u(x)right)+u(x){frac {d}{dx}}left(v(x)right).!}
Tích phân cả hai vế đối với x,
∫ d d x ( u ( x ) v ( x ) ) d x = ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x + ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x {displaystyle int {frac {d}{dx}}left(u(x)v(x)right),dx=int u'(x)v(x),dx+int u(x)v'(x),dx}
sau đó áp dụng định nghĩa của nguyên hàm,
u ( x ) v ( x ) = ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x + ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x {displaystyle u(x)v(x)=int u'(x)v(x),dx+int u(x)v'(x),dx} ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x {displaystyle int u(x)v'(x),dx=u(x)v(x)-int u'(x)v(x),dx}
cho ta công thức tích phân từng phần.
Bởi vì du và dv là các vi phân của một hàm một biến x,
d u = u ′ ( x ) d x d v = v ′ ( x ) d x {displaystyle du=u'(x)dxquad dv=v'(x)dx} ∫ u ( x ) d v = u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) d u {displaystyle int u(x),dv=u(x)v(x)-int v(x),du}
Tích phân gốc ∫uv′ dx chứa v′ (đạo hàm của v); để áp dụng định lý, phải tim nguyên hàm v (của v′), và tính tích phân ∫vu′ dx.
Điều kiện u và v khả vi liên tục là không thực cần thiết. Tích phân từng phần chỉ được áp dụng nếu u là liên tục tuyệt đối và hàm được chọn v’ phải khả tích Lebesgue (nhưng không nhất thiết là liên tục).[1] (Nếu v’ có một điểm gián đoạn thì nguyên hàm v của nó có thể không có đạo hàm tại điểm đó.)
Nếu khoảng tích phân không phải là không gian compact thì u không cần thiết phải hoàn toàn liên tục trong toàn khoảng hoặc v ‘ không cần thiết phải là khả tích Lebesgue trong khoảng, như một vài ví dụ sẽ cho thấy, trong đó u và v là liên tục và khả vi liên tục. Ví dụ nếu
u ( x ) = exp ( x ) / x 2 , v ′ ( x ) = exp ( − x ) {displaystyle u(x)=exp(x)/x^{2},,v'(x)=exp(-x)}
u không liên tục hoàn toàn trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên
∫ 1 ∞ u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] 1 ∞ − ∫ 1 ∞ u ′ ( x ) v ( x ) d x {displaystyle int _{1}^{infty }u(x)v'(x),dx=left[u(x)v(x)right]_{1}^{infty }-int _{1}^{infty }u'(x)v(x),dx}
miễn là [ u ( x ) v ( x ) ] 1 ∞ {displaystyle left[u(x)v(x)right]_{1}^{infty }} có nghĩa là giới hạn u ( L ) v ( L ) − u ( 1 ) v ( 1 ) {displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)} khi L → ∞ {displaystyle Lto infty } và miễn là hai số hạng ở vế phải hữu hạn. Điều này chỉ đúng khi chúng ta chọn v ( x ) = − exp ( − x ) . {displaystyle v(x)=-exp(-x).} Tương tự, nếu
u ( x ) = exp ( − x ) , v ′ ( x ) = x − 1 sin ( x ) {displaystyle u(x)=exp(-x),,v'(x)=x^{-1}sin(x)}
v’ không khả vi Lebesgue trên khoảng [1, +∞), tuy nhiên
∫ 1 ∞ u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] 1 ∞ − ∫ 1 ∞ u ′ ( x ) v ( x ) d x {displaystyle int _{1}^{infty }u(x)v'(x),dx=left[u(x)v(x)right]_{1}^{infty }-int _{1}^{infty }u'(x)v(x),dx}
với giải thích tương tự.
Người ta cũng có thể dễ dàng đưa ra những ví dụ như thế này nhưng trong đó u và v không khả vi liên tục.
Áp dụng quy tắc tích để tìm tích phần cho ba hàm nhân nhau, u(x), v(x), w(x), cho kết quả tương tự:
∫ a b u v d w = [ u v w ] a b − ∫ a b u w d v − ∫ a b v w d u . {displaystyle int _{a}^{b}uv,dw=[uvw]_{a}^{b}-int _{a}^{b}uw,dv-int _{a}^{b}vw,du.}
Tổng quát với n thừa số
d d x ( ∏ i = 1 n u i ( x ) ) = ∑ j = 1 n ∏ i ≠ j n u i ( x ) d u j ( x ) d x , {displaystyle {frac {d}{dx}}left(prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)right)=sum _{j=1}^{n}prod _{ineq j}^{n}u_{i}(x){frac {du_{j}(x)}{dx}},}
dẫn đến
[ ∏ i = 1 n u i ( x ) ] a b = ∑ j = 1 n ∫ a b ∏ i ≠ j n u i ( x ) d u j ( x ) , {displaystyle {Bigl [}prod _{i=1}^{n}u_{i}(x){Bigr ]}_{a}^{b}=sum _{j=1}^{n}int _{a}^{b}prod _{ineq j}^{n}u_{i}(x),du_{j}(x),}
trong đó tích thuộc tất cả các hàm ngoại trừ một hàm được lấy đạo hàm trong cùng số hạng.
Xem xét đường cong tham số bởi (x, y) = (f(t), g(t)). Giả sử rằng đường cong là đơn ánh cục bộ và khả tích cục bộ, ta định nghĩa
x ( y ) = f ( g − 1 ( y ) ) {displaystyle x(y)=f(g^{-1}(y))} y ( x ) = g ( f − 1 ( x ) ) {displaystyle y(x)=g(f^{-1}(x))}
Diện tích vùng màu xanh là
A 1 = ∫ y 1 y 2 x ( y ) d y {displaystyle A_{1}=int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy}
Tương tự như vậy, diện tích của vùng màu đỏ là
A 2 = ∫ x 1 x 2 y ( x ) d x {displaystyle A_{2}=int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx}
Tổng diện tích A1 + A2 bằng diện tích của hình chữ nhật lớn hơn, x2y2, trừ đi diện tích của hình chữ nhật nhỏ hơn, x1y1:
∫ y 1 y 2 x ( y ) d y ⏞ A 1 + ∫ x 1 x 2 y ( x ) d x ⏞ A 2 = x . y ( x ) | x 1 x 2 = y . x ( y ) | y 1 y 2 {displaystyle overbrace {int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)dy} ^{A_{1}}+overbrace {int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)dx} ^{A_{2}}={biggl .}x.y(x){biggl |}_{x1}^{x2}={biggl .}y.x(y){biggl |}_{y1}^{y2}}
Hoặc theo tham số t
∫ t 1 t 2 x ( t ) d y ( t ) + ∫ t 1 t 2 y ( t ) d x ( t ) = x ( t ) y ( t ) | t 1 t 2 {displaystyle {displaystyle int _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)dy(t)+int _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)dx(t)={biggl .}x(t)y(t){biggl |}_{t_{1}}^{t_{2}}}}
Hoặc biễu diễn theo nguyên hàm:
∫ x d y + ∫ y d x = x y {displaystyle int xdy+int ydx=xy}
Chỉnh lại:
∫ x d y = x y − ∫ y d x {displaystyle int xdy=xy-int ydx}
Từ đó tích phân từng phần có thể coi là diện tích của vùng màu xanh trong tổng diện tích và diện tích của vùng đỏ.
Sự hình dung này cũng lý giải việc tích phân từng phần có thể tính tích phân của hàm nghịch đảo f−1(x) khi đã biết tích phân của f(x). Thật vậy, nếu hàm x(y) và y(x) là nghịch đảo của nhau thì có thể tìm tích phân ∫x dy khi đã biết tích phân ∫y dx. Cụ thể, điều này giải thích việc kết hợp sử dụng tích phân từng phần với hàm logarithm và hàm lượng giác nghịch đảo.
Tích phân từng phần là một quá trình suy nghiệm hơn là một quá trình máy móc thuần tuý để tính toán tích phân; cho một hàm đơn để tích phân, các chiến lược điển hình là cẩn thận tách nó thành tích của hai hàm u(x)v(x) sao cho tích phân được tạo bởi công thức tích phân từng phần dễ tính toán hơn so với tích phân gốc. Công thức sau minh họa kịch bản trường hợp tốt nhất:
∫ u v d x = u ∫ v d x − ∫ ( u ′ ∫ v d x ) d x . {displaystyle int uv dx=uint v dx-int left(u’int v dxright) dx.}
Lưu ý rằng ở vế phải, u được lấy đạo hàm và v được lấy tích phân; do đó sẽ hữu ích khi chọn u là một hàm có thể giản hóa khi lấy đạo hàm, hoặc khi chọn v là hàm đơn giản hóa được khi được lấy tích phân. Xét ví dụ đơn giản sau:
∫ ln ( x ) x 2 d x . {displaystyle {displaystyle int {frac {ln(x)}{x^{2}}} dx .}}
Do đạo hàm của ln(x) là 1/x, ta chọn (ln(x)) là u; do nguyên hàm của1/x2 là -1/x, chọn 1/x2dx làm dv. Từ đó ta có:
∫ ln ( x ) x 2 d x = − ln ( x ) x − ∫ ( 1 x ) ( − 1 x ) d x . {displaystyle {displaystyle int {frac {ln(x)}{x^{2}}} dx=-{frac {ln(x)}{x}}-int {biggl (}{frac {1}{x}}{biggr )}{biggl (}-{frac {1}{x}}{biggr )} dx .}}
Nguyên hàm của − 1 x 2 {displaystyle -{frac {1}{x^{2}}}} có thể được tìm thấy bằng quy tắc luỹ thừa và bằng 1 x {displaystyle {frac {1}{x}}} .
Ngoài ra, người ta có thể chọn u và v sao cho tích u’ (∫v dx) triệt tiêu nhau. Ví dụ, giả sử ta muốn tích phân:
∫ sec 2 ( x ) ⋅ ln ( | sin ( x ) | ) d x . {displaystyle int sec ^{2}(x)cdot ln {Big (}{bigl |}sin(x){bigr |}{Big )} dx.}
Nếu chúng ta chọn u(x) = ln(|sin(x)|) và v(x) = sec2x, thì u được lấy vi phân tới 1/ tan x bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi và v được lấy tích phân tan x; do đó công thức cho:
∫ sec 2 ( x ) ⋅ ln ( | sin ( x ) | ) d x = tan ( x ) ⋅ ln ( | sin ( x ) | ) − ∫ tan ( x ) ⋅ 1 tan ( x ) d x . ∫ sec 2 ( x ) ⋅ ln ( | sin ( x ) | ) d x = tan ( x ) ⋅ ln ( | sin ( x ) | ) − ∫ tan ( x ) ⋅ 1 tan ( x ) d x . {displaystyle {displaystyle int sec ^{2}(x)cdot ln {Big (}{bigl |}sin(x){bigr |}{Big )} dx=tan(x)cdot ln {Big (}{bigl |}sin(x){bigr |}{Big )}-int tan(x)cdot {frac {1}{tan(x)}}dx .}{displaystyle int sec ^{2}(x)cdot ln {Big (}{bigl |}sin(x){bigr |}{Big )} dx=tan(x)cdot ln {Big (}{bigl |}sin(x){bigr |}{Big )}-int tan(x)cdot {frac {1}{tan(x)}}dx .}}
Hàm lấy tích phân trở thành 1 và có nguyên hàm là x. Tìm ra sự kết hợp co thể giản hóa thường cần thử sai.
Trong một số trường hợp, không đảm bảo rằng tích phân tạo bởi tích phân từng phần sẽ có dạng đơn giản; Ví dụ, trong giải tích số, ta có thể chấp nhận khi chỉ tạo ra một số sai sót nhỏ. Một số kỹ thuật đặc biệt khác được chứng minh trong các ví dụ dưới đây.
Hàm đa thức và hàm lượng giác
Để tính
I = ∫ x cos ( x ) d x {displaystyle I=int xcos(x) dx,}
đặt:
u = x ⇒ d u = d x {displaystyle u=x Rightarrow du=dx} d v = cos ( x ) d x ⇒ v = ∫ cos ( x ) d x = sin ( x ) {displaystyle dv=cos(x) dx Rightarrow v=int cos(x) dx=sin(x)}
thì:
∫ x cos ( x ) d x = ∫ u d v = u ⋅ v − ∫ v d u = x sin ( x ) − ∫ sin ( x ) d x = x sin ( x ) + cos ( x ) + C , {displaystyle {begin{aligned}int xcos(x) dx&=int u dv&=ucdot v-int v,du&=xsin(x)-int sin(x) dx&=xsin(x)+cos(x)+C,end{aligned}}!}
với C là hằng số tích phân.
Đối với bậc cao hơn của x trong dạng
∫ x n e x d x , ∫ x n sin ( x ) d x , ∫ x n cos ( x ) d x {displaystyle int x^{n}e^{x} dx, int x^{n}sin(x) dx, int x^{n}cos(x) dx,}
sử dụng nhiều lần tích phân từng phần có thể tính các tích phân thuộc loại này; mỗi lần sử dụng sẽ giảm một bậc của x.
Hàm mũ và hàm lượng giác
Một ví dụ thường dùng để tính tích phân từng phần là
I = ∫ e x cos ( x ) d x . {displaystyle I=int e^{x}cos(x) dx.}
Ở đây, ta thực hiện tích phân từng phần hai lần. Đầu tiên đặt
u = cos ( x ) ⇒ d u = − sin ( x ) d x {displaystyle u=cos(x) Rightarrow du=-sin(x) dx} d v = e x d x ⇒ v = ∫ e x d x = e x {displaystyle dv=e^{x} dx Rightarrow v=int e^{x} dx=e^{x}}
thì:
∫ e x cos ( x ) d x = e x cos ( x ) + ∫ e x sin ( x ) d x . {displaystyle int e^{x}cos(x) dx=e^{x}cos(x)+int e^{x}sin(x) dx.}
Giờ, để tính tích phân còn lại, chúng ta sử dụng tích phân từng phần một lần nữa, với:
u = sin ( x ) ⇒ d u = cos ( x ) d x {displaystyle u=sin(x) Rightarrow du=cos(x) dx} d v = e x d x ⇒ v = ∫ e x d x = e x . {displaystyle dv=e^{x} dx Rightarrow v=int e^{x} dx=e^{x}.}
thì:
∫ e x sin ( x ) d x = e x sin ( x ) − ∫ e x cos ( x ) d x . {displaystyle int e^{x}sin(x) dx=e^{x}sin(x)-int e^{x}cos(x) dx.}
Kết hợp lại,
∫ e x cos ( x ) d x = e x cos ( x ) + e x sin ( x ) − ∫ e x cos ( x ) d x . {displaystyle int e^{x}cos(x) dx=e^{x}cos(x)+e^{x}sin(x)-int e^{x}cos(x) dx.}
Tích phân giống nhau xuất hiện trên cả hai vế của phương trình này. Thêm tích phân cần tính vào 2 vế, ta có
2 ∫ e x cos ( x ) d x = e x ( sin ( x ) + cos ( x ) ) + C {displaystyle 2int e^{x}cos(x) dx=e^{x}{bigl (}sin(x)+cos(x){bigr )}+C}
mà trở thành:
∫ e x cos ( x ) d x = e x ( sin ( x ) + cos ( x ) ) 2 + C ′ {displaystyle int e^{x}cos(x) dx={frac {e^{x}{bigl (}sin(x)+cos(x){bigr )}}{2}}+C’}
trong đó C (và C‘ = C/2) là các hằng số tích phân.
Phương pháp tương tự được sử dụng để tìm tích phân của hàm sec bậc ba.
Các hàm được nhân với phần tử đơn vị
Hai ví dụ nổi tiếng khác khi áp dụng tích phân từng phần cho một hàm được biểu diễn là tích của 1 và chính nó. Có thể tính tích phân này nếu biết đạo hàm của hàm đó và tích phân của đạo hàm này nhân x.
Ví dụ đầu tiên là ∫ ln(x) dx. Chúng ta viết tích phân này như:
I = ∫ ln ( x ) ⋅ 1 d x . {displaystyle {displaystyle I=int ln(x)cdot 1 dx .}}
Đặt:
u = ln ( x ) ⇒ d u = d x x {displaystyle u=ln(x) Rightarrow du={frac {dx}{x}}} d v = d x ⇒ v = x {displaystyle dv=dx Rightarrow v=x}
thì:
∫ ln ( x ) d x = x ln ( x ) − ∫ x x d x = x ln ( x ) − ∫ 1 d x = x ln ( x ) − x + C {displaystyle {begin{aligned}int ln(x) dx&=xln(x)-int {frac {x}{x}} dx&=xln(x)-int 1 dx&=xln(x)-x+Cend{aligned}}}
trong đó C là hằng số tích phân.
Ví dụ thứ hai là hàm tan nghịch arctan(x):
I = ∫ arctan ( x ) d x . {displaystyle I=int arctan(x) dx.}
Viết lại
∫ arctan ( x ) ⋅ 1 d x . {displaystyle int arctan(x)cdot 1 dx.}
Đặt:
u = arctan ( x ) ⇒ d u = d x 1 + x 2 {displaystyle u=arctan(x) Rightarrow du={frac {dx}{1+x^{2}}}} d v = d x ⇒ v = x {displaystyle dv=dx Rightarrow v=x}
thì
∫ arctan ( x ) d x = x ⋅ arctan ( x ) − ∫ x 1 + x 2 d x = x ⋅ arctan ( x ) − ln ( 1 + x 2 ) 2 + C {displaystyle {begin{aligned}int arctan(x) dx&=xcdot arctan(x)-int {frac {x}{1+x^{2}}} dx[8pt]&=xcdot arctan(x)-{frac {ln(1+x^{2})}{2}}+Cend{aligned}}}
sử dụng kết hợp giữa phương pháp quy tắc chuỗi đảo và điều kiện tích phân của hàm logarit tự nhiên.
Tích phân từng phần thường được sử dụng như một công cụ để chứng minh các định lý trong giải tích toán học. Phần này đưa ra vài ví dụ.
Biến đổi Fourier của đạo hàm Phân rã của biến đổi Fourier
- Để xác định điều kiện biên trong lý thuyết Sturm-Liouville
- Đạo hàm của phương trình Euler-Lagrange trong giải tích của biến thể
- Integration by parts for the Lebesgue-Stieltjes integral
- Integration by parts for semimartingales, involving their quadratic covariation.
- Integration by substitution
- Legendre transformation
- Evans, Lawrence C. (1998). Partial Differential Equations. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.
- Arbogast, Todd; Bona, Jerry (2005). Methods of Applied Mathematics (PDF).[liên kết hỏng]
- Horowitz, David (tháng 9 năm 1990). “Tabular Integration by Parts”. The College Mathematics Journal. Quyển 21 số 4. tr. 307-311. doi:10.2307/2686368. JSTOR 2686368.“Tabular Integration by Parts”. The College Mathematics Journal 21 (4): 307-311. doi:10.2307/2686368.JSTOR 2686368.
- Hazewinkel, Michiel, biên tập (2001), “Integration by parts”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Integration by parts—from MathWorld