Dạng bài toán hàm số cho bởi nhiều công thức
Cách 1: Không đi tìm hàm (Fleft( x right)).
Ta có:
(begin{array}{l}P = Fleft( { – 1} right) + 2Fleft( 2 right),,,,, = left[ {Fleft( { – 1} right) – Fleft( 0 right)} right] + 2left[ {Fleft( 2 right) – Fleft( 0 right)} right] + 3Fleft( 0 right),,,,,, = intlimits_0^{ – 1} {fleft( x right)dx} + 2intlimits_0^2 {fleft( x right)dx} + 3Fleft( 0 right)end{array})
(Hàm số (Fleft( x right)) là hàm số thay đổi công thức tại (x = 1), nhưng liên tục tại (x = 1), nên việc ta khẳng định (intlimits_0^2 {fleft( x right)dx} = Fleft( 2 right) – Fleft( 0 right)) là hoàn toàn chặt chẽ bản chất và việc phân đoạn tích phân vẫn đúng).
(begin{array}{l} Rightarrow P = intlimits_0^{ – 1} {fleft( x right)dx} + 2left[ {intlimits_0^1 {fleft( x right)dx} + intlimits_1^2 {fleft( x right)dx} } right] + 3.2,,,,,,,,,,, = intlimits_0^{ – 1} {left( {3{x^2} + 4} right)dx} + 2left[ {intlimits_0^1 {left( {3{x^2} + 4} right)dx} + intlimits_1^2 {left( {2x + 5} right)dx} } right] + 6,,,,,,,,,,, = 27end{array})
Cách 2: Tìm hàm (Fleft( x right)).
(fleft( x right) = left{ begin{array}{l}2x + 53{x^2} + 4end{array} right. Rightarrow Fleft( x right) = int {fleft( x right)dx} = left{ begin{array}{l}{x^2} + 5x + {C_1},,khi,,x ge 1{x^3} + 4x + {C_2},,khi,,x < 1end{array} right.).
+ Vì (Fleft( 0 right) = 2 Rightarrow {0^3} + 4.0 + {C_2} = 2 Leftrightarrow {C_2} = 2).
+ Theo giả thiết, (Fleft( x right)) là hàm số tồn tại đạo hàm trên (mathbb{R}).
( Rightarrow Fleft( x right)) tồn tại đạo hàm tại (x = 1 Rightarrow Fleft( x right)) liên tục tại (x = 1).
( Rightarrow Fleft( {{1^ + }} right) = Fleft( {{1^ – }} right) = Fleft( 1 right) Rightarrow 1 + 5 + {C_1} = 1 + 4 + {C_2}) ( Rightarrow {C_1} = – 1 + {C_2} = 1).
(begin{array}{l} Rightarrow Fleft( x right) = left{ begin{array}{l}{x^2} + 5x + 1,,khi,,x ge 1{x^3} + 4x + 2,,khi,,x < 1end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}Fleft( { – 1} right) = {left( { – 1} right)^3} + 4.left( { – 1} right) + 2 = – 3Fleft( 2 right) = {2^2} + 5.2 + 1 = 15end{array} right. Rightarrow P = Fleft( { – 1} right) + 2Fleft( 2 right) = – 3 + 2.15 = 27end{array})