Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay
Với Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
A. Phương pháp giải
1. Định lí
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) – ∫u'(x)v(x)dx. Viết gọn: ∫udv = uv – ∫vdu.
2. Cách đặt
Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫P(x).Q(x)dx
* Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”
Cho I = ∫f(x).g(x)dx trong đó f(x) là đa thức và g(x) là biểu thức lượng giác.
Ta đặt u = f(x) và v’ = g(x).
Sau đó áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫(1 – x)cosxdx
A. (1 + x)cosx – sinx + C.
B. (1 – x)sinx – cosx + C.
C. (1 – x)cosx + sinx + C.
D. (1 – x)cosx – cosx + C.
Lời giải
Chọn B.
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 2(x – 2).sin2x
Lời giải
Ta có: 2(x – 2).sin2x = (x – 2).(1 – cos2x) vì (cos2x = 1- 2sin2x)
Chọn A.
Ví dụ 3. Tính I = ∫(2x – 2).sinx.cosxdx
Lời giải
Ta có: (2x – 2).sinx.cosx = (x – 1).2sinx.cosx = (x – 1).sin2x
⇒ I = ∫(2x – 2).sinx.cosxdx = ∫(x – 1)sin2xdx
Chọn D.
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
A. -x.cotx + ln|sinx| + C.
B. x.cotx + ln|sinx| + C.
C. x.cosx + ln|sinx| + C.
D. x.cotx – ln|sinx| + C.
Lời giải
Chọn A.
Ví dụ 5. Tính ∫xsin2xdx.
Lời giải
Chọn C.
Ví dụ 6. Tính ∫cos√x dx.
Lời giải
Chọn B.
Ví dụ 7. Tính I = ∫(1 + sinx + sin2x + sin3x + …)dx.
Lời giải
Ta có: 1 + sinx + sin2x + sin3x + … là tổng của cấp số nhân với un = sinnx
Vì |sinx| ≤ 1 nên áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân có công bội q = sinx < 1 ta được:
Chọn D.
Ví dụ 8. Tính I = ∫(x2 – 100)sinxdx
A. I = -(x2 – 100).sinx + 2xsinx – 2cosx + C.
B. I = (x2 – 100).cosx – 2xsinx + cosx + C.
C. I = -(x2 – 100).cosx + 2xsinx + 2cosx + C.
D. Tất cả sai.
Lời giải
Chọn C.
Ví dụ 9. Tính I = ∫x.sinx.cos2xdx
Lời giải
Chọn C.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tính nguyên hàm của hàm số: f(x) = (x + 1).sinx
A. F(x) = (x + 1)cosx + sinx + c.
B. F(x) = -(x + 1)cosx + sinx + c.
C. F(x) = -(x + 1)cosx – sinx + c.
D. F(x) = -(x + 1)cosx – sinx + c.
Lời giải:
Ta có:
Chọn B.
Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (x + 3).(sin2x – cos2x)
Lời giải:
Ta có: (x + 3).(sin2x – cos2x) = (x + 3).(-cos2x) vì (cos2x = cos2x – sin2x)
Chọn A.
Câu 3: Tính:
A. (x + 1).cosx + 2sin2x + C.
B. 2(x + 1).sinx + 2cosx + C.
C. (x + 1).cosx + 2cosx + C.
D. -(x + 1).cosx + 2sinx + C.
Lời giải:
Chọn D.
Câu 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
A. (2x + 1).tanx + 2.ln|cosx| + C.
B. (2x + 1).cotx + 2.ln|cosx| + C.
C. (2x + 1).sinx + 2.ln|sinx| + C.
D. Đáp án khác.
Lời giải:
Chọn A.
Câu 5: Tính
Lời giải:
Chọn A.
Câu 6: Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = xcos3x, biết F(0) = 1. Vậy F(x) là:
Lời giải:
Chọn D.
Câu 7: Nguyên hàm của hàm số bằng:
Lời giải:
Chọn B.
Câu 8: Tìm
Lời giải:
Chọn C.
Câu 9: Tính . Chọn kết quả đúng.
Lời giải:
Chọn A.