Giải thích chung
Cả hai câu hỏi đều liên quan đến các tam giác với các góc hoặc cạnh lập thành một cấp số cộng. Ta sẽ phân tích riêng từng bài toán.
Câu 49
Concepts
Cấp số cộng, tổng các góc trong tam giác, bài toán đại số cơ bản.
Explanation
Ba góc của tam giác lập thành một cấp số cộng, và góc lớn nhất gấp đôi góc nhỏ nhất, đồng thời tổng ba góc tam giác là 180∘. Dùng biến số để biểu diễn các góc, thiết lập phương trình, giải tìm hiệu giữa góc lớn nhất và góc nhỏ nhất.
Step-By-Step Solution
Bước 1: Gọi biến số cho các góc
Gọi số đo ba góc là A, B, C với A<B<C. Do lập thành cấp số cộng nên ta đặt:
- A=a
- B=a+d
- C=a+2d
Bước 2: Tổng ba góc trong tam giác
A+B+C=180∘
⇒a+(a+d)+(a+2d)=180
⇒3a+3d=180
⇒a+d=60
Bước 3: Góc lớn nhất gấp đôi góc nhỏ nhất
C=2A
⇒a+2d=2a
⇒2d=a
⇒d=2a
Bước 4: Thay vào phương trình a+d=60
a+d=60
⇒a+2a=60
⇒23a=60
⇒a=40
⇒d=2a=20
Bước 5: Tìm các góc
A=a=40∘
B=a+d=60∘
C=a+2d=80∘
Bước 6: Tính hiệu số đo góc lớn nhất và nhỏ nhất
C−A=80∘−40∘=40∘
Final Answer
Đáp án: A. 40∘
Câu 50
Concepts
Tam giác vuông, chu vi, cấp số cộng, giải hệ phương trình bậc hai.
Explanation
Độ dài ba cạnh (hai cạnh góc vuông và cạnh huyền) lập thành cấp số cộng, chu vi bằng 3. Ta đặt 3 cạnh là a,b,c (với c là cạnh huyền). Thiết lập hệ phương trình từ thông tin chu vi và định lý Py-ta-go để giải.
Step-By-Step Solution
Bước 1: Đặt biến số cho ba cạnh
Đặt ba cạnh là a<b<c lập thành cấp số cộng:
- a=x
- b=x+d
- c=x+2d
Bước 2: Chu vi tam giác
a+b+c=3
x+(x+d)+(x+2d)=3
3x+3d=3→x+d=1
⇒d=1−x
Bước 3: Định lý Py-ta-go
Tam giác vuông: a2+b2=c2
Thay vào: (x)2+(x+d)2=(x+2d)2
Mở rộng trung bình để giải: x2+(x+d)2=(x+2d)2
x2+(x2+2xd+d2)=(x2+4xd+4d2)
2×2+2xd+d2=x2+4xd+4d2
Kết hợp về một vế: 2×2+2xd+d2−x2−4xd−4d2=0
x2−2xd−3d2=0
Bước 4: Thay d=1−x vào
x2−2x(1−x)−3(1−x)2=0
x2−2x+2×2−3(1−2x+x2)=0
x2−2x+2×2−3+6x−3×2=0
(x2+2×2−3×2)+(−2x+6x)−3=0
0x2+4x−3=0
4x=3⇒x=43
⇒d=1−x=1−43=41
Bước 5: Tìm độ dài các cạnh
a=x=43
b=x+d=43+41=1
c=x+2d=43+2×41=43+42=45
Final Answer
Độ dài các cạnh tam giác vuông là:
- 43, 1, 45