Bài viết Họ nguyên hàm của một hàm số là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Họ nguyên hàm của một hàm số.
Họ nguyên hàm của một hàm số là gì lớp 12 (chi tiết nhất)
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
1. Khái niệm họ nguyên hàm của một hàm số
Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.
b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x ∈ K.
Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C C∈ℝ là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi ∫fxdx.
Chú ý:
a) Để tìm họ nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó
∫fxdx=Fx+C, C là hằng số.
b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng K thì f(x) có nguyên hàm trên khoảng đó.
c) Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x), kí hiệu là dF(x). Vậy dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.
d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K, ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.
Mối quan hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm:
2. Ví dụ minh họa về khái niệm họ nguyên hàm của một hàm số
Ví dụ 1. Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2×3 trên ℝ. Từ đó hãy tìm ∫2x3dx.
Hướng dẫn giải
Vì x42’=4×32=2×3 nên Fx=x42 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ. Vậy ∫2x3dx=x42+C.
Ví dụ 2. Tính:
a) ∫sin4xdx.
b) ∫6cosxdx
Hướng dẫn giải
a) Vì −14cos4x’=−14⋅4⋅−sin4x=sin4x nên Fx=−14cos4x là một nguyên hàm của hàm số f(x). Vậy ∫sin4xdx=−14cos4x+C.
b) Vì 6sinx’=6cosx nên F(x) = 6sinx là một nguyên hàm của hàm số f(x). Vậy ∫6cosxdx=6sinx+C.
Ví dụ 3. Tìm hàm số y = f(x), biết f’(x) = 3×2 + 2x và f(1) = 3.
Hướng dẫn giải
Vì f’(x) = 3×2 + x nên f(x) là một nguyên hàm của hàm số 3×2 + x.
Ta có: x3+x2’=3×2+2x nên ta có: fx=∫3×2+2x=x3+x2+C.
Mà f(1) = 3 nên 13 + 12 + C = 3, suy ra C = 1. Vậy f(x) = x3 + x2 + 1.
3. Bài tập về họ nguyên hàm của một hàm số
Bài 1. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số sau:
a) f(x) = 6×2 + 2x + 1 trên ℝ.
b) fx=1×2−x3+1 với x ≠ 0.
Bài 2. Tìm:
a) ∫4xdx.
b) ∫cos6x dx.
c) ∫e2xdx.
Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x2 + 6x + 1, biết rằng F(2) = 0.
Bài 4. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 200 – 9,8t (m/s). Tính độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất) sau 4 giây.
Bài 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3×2 + 2x, biết rằng F(2) – f’(1) = 5.
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:
-
Khoảng tứ phân vị là gì
-
Phương sai là gì
-
Độ lệch chuẩn là gì
-
Nguyên hàm là gì
-
Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
-
Tích phân là gì