Câu hỏi:
Cho hình chóp(S.ABCD)có đáy(ABCD)là hình thoi nhưng không là hình vuông,(AB = SA = SB = SD = a). Biết rằng thể tích khối chóp bằng(frac{{{a^3}sqrt 2 }}{6}), khi đó góc giữa hai mặt phẳng(left( {SBC} right))và(left( {SCD} right))là
A. ({30^circ }).
B. ({45^circ }).
C. ({60^circ }).
D. ({90^circ }).
GY:
ChọnD
Gọi(O)là tâm của hình thoi(ABCD).
Ta có(Delta SBC,Delta SDC)là các tam giác cân lần lượt tại(B,D).
Gọi(I)là trung điểm của(SC)( Rightarrow left{ begin{array}{l}BI bot SCDI bot SCend{array} right.).
Do đó góc giữa hai mặt phẳng(left( {SBC} right)) và (left( {SDC} right)) là góc giữa hai đường thẳng(BI)và(DI).
(Delta SBC = Delta SDC)( Rightarrow BI = DI Rightarrow )(Delta IBD)cân tại(I).
Gọi(H)là hình chiếu của(S)lên mặt phẳng(left( {ABCD} right)).
Do(SA = SB = SD)( Rightarrow HA = HB = HD)( Rightarrow H)là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác(ABD).
Mà(Delta ABD)cân tại(A)nên(H)nằm trên đường chéo(AC)của hình thoi(ABCD).
Đặt(OB = x(0 < x < a)). Ta có (OA = sqrt {{a^2} – {x^2}} );(sin widehat {OAB} = frac{{OB}}{{AB}} = frac{x}{a}).
(sin widehat {BAD} = sin 2widehat {OAB} = 2sin widehat {OAB}.cos widehat {OAB} = 2 cdot frac{{OB}}{{AB}} cdot frac{{OA}}{{AB}} = frac{{2xsqrt {{a^2} – {x^2}} }}{{{a^2}}}).
Ta có (frac{{BD}}{{sin BAD}} = 2AH Rightarrow AH = frac{{{a^2}}}{{2sqrt {{a^2} – {x^2}} }})( Rightarrow SH = sqrt {S{A^2} – A{H^2}}= sqrt {{a^2} – frac{{{a^4}}}{{4left( {{a^2} – {x^2}} right)}}}= sqrt {frac{{3{a^4} – 4{a^2}{x^2}}}{{4left( {{a^2} – {x^2}} right)}}}= frac{a}{2}frac{{sqrt {3{a^2} – 4{x^2}} }}{{sqrt {{a^2} – {x^2}} }}).
Gọi(V)là thể tích của khối chóp(S.ABCD).
Ta có:
(V=frac{1}{3} S H cdot S_{A B C D}=frac{1}{3} S H cdot A O cdot B D=frac{a}{6} cdot frac{sqrt{3 a^{2}-4 x^{2}}}{sqrt{a^{2}-x^{2}}} cdot sqrt{a^{2}-x^{2}} cdot 2 x=frac{a}{3} sqrt{3 a^{2} x^{2}-4 x^{4}})
Theo giả thiết(V = frac{{{a^3}sqrt 2 }}{6} Leftrightarrow frac{a}{3}sqrt {3{a^2}{x^2} – 4{x^4}}= frac{{{a^3}sqrt 2 }}{6} Leftrightarrow sqrt {3{a^2}{x^2} – 4{x^4}}= frac{{{a^2}sqrt 2 }}{2})
( Leftrightarrow 8{x^4} – 6{a^2}{x^2} + {a^4} = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = frac{{{a^2}}}{4}}{{x^2} = frac{{{a^2}}}{2}}end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}{x = frac{a}{2}}{x = frac{{asqrt 2 }}{2}}end{array}} right.).
Do(ABCD)không phải hình vuông nên(x ne frac{{asqrt 2 }}{2}). Vậy(x = frac{a}{2})hay(OB = frac{a}{2}).
Mà(OI = frac{{SA}}{2} = frac{a}{2}). Suy ra(Delta BIO)vuông cân tại(O)( Rightarrow widehat {,BIO}, = {45^circ } Rightarrow widehat {,BID}, = {90^circ }).
Vậygóc giữa hai mặt phẳng(left( {SBC} right))và(left( {SCD} right))là({90^circ }).
======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian