1) Gọi thời gian vòi (I)chảy một mình đầy bề là (x) (giờ (x > 5))
Thời gian vòi (II) chảy một mình đầy vể là (y) (giờ, (y > 5))
Thời gian cả hai voi cùng chảy đầy bể là 5 giờ.
Trong 1 giờ, vòi (I) chảy được (dfrac{1}{x}) bể; vòi (II) chảy được (dfrac{1}{y}) bể; cả hai vòi cùng chảy được (dfrac{1}{5}) bề.
Do đó ta có phương trình: (dfrac{1}{x} + dfrac{1}{y} = dfrac{1}{5}) (left( 1 right))
Trong 3 giờ vòi (I) chảy được (dfrac{3}{x})bề; Trong 2 giờ vòi (II) chảy được (dfrac{2}{y}) bề. Cả hai vòi chảy được (dfrac{2}{3}) bể.
Do đó ta có phương trình: (dfrac{3}{x} + dfrac{4}{y} = dfrac{2}{3}) (left( 2 right))
Từ (left( 1 right)) và (left( 2 right)) ta có hệ phương trình: (left{ begin{array}{l}dfrac{1}{x} + dfrac{1}{y} = dfrac{1}{5}dfrac{3}{x} + dfrac{4}{y} = dfrac{2}{3}end{array} right.)
Giải hệ phương trình ta được: (left{ begin{array}{l}x = 7,5y = 15end{array} right.) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy:
Thời gian vòi (I) chảy một mình đầy bể là 7,5 giờ.
Thời gian vòi (II) chảy một mình đẩy bể là 15 giờ.
2) Gọi số sản phẩm mỗi ngày xí ngiệp phải làm theo kế hoạch là (x), (sản phẩm (x in mathbb{N}*,x < 75))
Số sản phẩm phải làm theo kế hoạch là 75 sản phẩm.
Thời gian hoàn thành theo kế hoạch là (dfrac{{75}}{x}) ngày.
Thực tế, mỗi ngày làm được (x + 5) sản phẩm.
Thực tế số sản phẩm làm được là 80 sản phẩm.
Thực tế, thời gian hoàn thành là (dfrac{{80}}{x}) sản phẩm.
Thực tế, xí nghiệp hoàn thành trước 1 ngày so với kế hoạch nên ta có phương trình:
(dfrac{{80}}{{x + 5}} + 1 = dfrac{{75}}{x}) hay (dfrac{{80 + x + 5}}{{x + 5}} = dfrac{{75}}{x})
Suy ra: ({x^2} + 80x + 5x = 75x + 375)
({x^2} + 10x – 375 = 0)
(left( {x – 15} right)left( {x + 25} right) = 0)
Trường hợp 1: (x = 15) ™
Trường hợp 2: (x = – 25) (loại)
Vậy, theo kế hoạch mỗi ngày xí nghiệp phải làm 15 sản phẩm.
3) Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng (left( d right)) là nghiệm của phương trình:
({x^2} = x – m)
({x^2} – x + m = 0)
Hai đồ thị hàm số có một giao điểm là (x = dfrac{{1 – sqrt 5 }}{2}) nên ta có:
({left( {dfrac{{1 – sqrt 5 }}{2}} right)^2} – dfrac{{1 – sqrt 5 }}{2} + m = 0)
(m = dfrac{{1 – sqrt 5 }}{2} – {left( {dfrac{{1 – sqrt 5 }}{2}} right)^2})
( = dfrac{{1 – sqrt 5 }}{2} – dfrac{{6 – 2sqrt 5 }}{4} = dfrac{{1 – sqrt 5 – 3 + sqrt 5 }}{2} = – 1)
Với (m = – 1) ta có phương trình: ({x^2} – x – 1 = 0)
Theo định lí Viet ta có: (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1{x_1}{x_2} = – 1end{array} right.) (left( 1 right))
Theo bài ra:(dfrac{1}{{{x_1}}} + dfrac{1}{{{x_2}}} – dfrac{{2025}}{{{x_1} + {x_2} – 2}})
(dfrac{{{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} – dfrac{{2025}}{{{x_1} + {x_2} – 2}})(left( 2 right))
Từ (1) và (left( 2 right)) ta có: (dfrac{1}{{ – 1}} – dfrac{{2025}}{{1 – 2}} = – 1 + 2025 = 2024)
Vậy(dfrac{1}{{{x_1}}} + dfrac{1}{{{x_2}}} – dfrac{{2025}}{{{x_1} + {x_2} – 2}} = 2024) với (m = – 1).