Explanation
Hai bài toán đều liên quan đến hình chóp, mặt phẳng song song và giao tuyến với một cạnh bên. Cần sử dụng các tính chất về mặt phẳng song song, tỷ số đoạn thẳng, trọng tâm tam giác và giao điểm đường chéo hình thang.
Question 31
Concepts
Mặt phẳng song song, trọng tâm tam giác, tỷ số đoạn thẳng, hình chóp
Explanation
Mặt phẳng (α) qua trọng tâm G của △ABC và song song với (SAB) sẽ cắt SC tại P sao cho tỷ số SCSP bằng tỷ số chia đoạn theo hướng từ S đến C bởi mặt phẳng qua G song song với đáy SAB.
Step-By-Step Solution
Step 1
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó SG cắt mặt phẳng (ABC) tại G với SG:GC=2:1 (theo tính chất trọng tâm).
Step 2
Mặt phẳng (SAB) chứa S, A, B. Mặt phẳng (α) qua G và song song với (SAB).
Step 3
Vì (α)∥(SAB) nên giao tuyến P trên SC chia SC theo cùng tỷ số như G chia AC (hoặc BC).
Step 4
Trọng tâm G chia đường trung tuyến AM (M là trung điểm BC) theo tỷ số AG:GM=2:1.
Step 5
Vì (α) qua G và song song với (SAB) nên P chia SC theo tỷ số SP:PC=AG:GM=2:1.
Step 6
Tức là SP=32SC.
Final Answer
SCSP=32
Question 32
Concepts
Hình chóp, hình thang, giao điểm đường chéo, mặt phẳng song song, tỷ số đoạn thẳng
Explanation
Mặt phẳng (α) qua O=AC∩BD và song song với (SAB) sẽ cắt SC tại P. Cần xác định tỷ số PCSP.
Step-By-Step Solution
Step 1
Gọi ABCD là hình thang với CD=2AB.
Step 2
Giao điểm O của AC và BD là trọng tâm chia các đường chéo theo tỷ số nhất định.
Step 3
Mặt phẳng (α) qua O và song song với (SAB) nên P chia SC theo tỷ số giống như O chia AC.
Step 4
Trong hình thang ABCD với CD=2AB, gọi AB=a, CD=2a.
Step 5
Gọi A(0,0), B(a,0), D(0,h), C(2a,h).
Step 6
Phương trình AC: A(0,0)→C(2a,h), tham số t∈[0,1]: x=2at, y=ht.
Phương trình BD: B(a,0)→D(0,h), tham số s∈[0,1]: x=a−as, y=hs.
Step 7
Tìm O:
2at=a−as ht=hs
⇒t=s 2at=a−at 2at+at=a 3at=a⇒t=31
Vậy O chia AC theo AO:OC=1:2.
Step 8
Vì (α) qua O và song song với (SAB) nên P chia SC theo cùng tỷ số SP:PC=AO:OC=1:2.
Final Answer
PCSP=21