Cho (O;R) có đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của (O). Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AM, AN tại Q và P.
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.
Xét (left( O right)): (angle AMB = {90^0}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
(angle MAN = {90^0}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
(angle ANB = {90^0}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác (AMBN):
(begin{array}{l}angle AMB = {90^0},,left( {cmt} right)angle MAN = {90^0},,left( {cmt} right)angle ANB = {90^0},,left( {cmt} right)end{array})
( Rightarrow ) Tứ giác (AMBN) là hình chữ nhật (dhnb HCN)
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
Xét (left( O right)): (angle MNB = angle MAB) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung (MB)).
Mà (angle MAB + angle Q = {90^0}) ((Delta ABQ) vuông tại B)
( Rightarrow angle MNB + angle Q = {90^0})
( Rightarrow angle MQP + angle MNP = left( {angle MQP + angle MNB} right) + angle BNP = {180^0}).
Xét tứ giác (MNPQ) có: (angle MQP + angle MNP = {180^0}).
Mà (angle MQP) và (angle MNP) là 2 góc đối nhau
( Rightarrow ) Tứ giác (MNPQ) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)
( Rightarrow M,,,N,,,P,,,Q) cùng thuộc một đường tròn.
3) Gọi E là trung điểm BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF.
*) CMR F là trung điểm của BP.
Xét (Delta ABQ) :
O là trung điểm của AB (AB là đường kính (O))
E là trung điểm BQ (gt)
( Rightarrow ) OE là đường trung bình (Delta ABQ) (đn đtb tam giác)
( Rightarrow ) OE // AQ (tính chất đường trung bình)
Mà (OF bot OE,,left( {gt} right))
( Rightarrow OF bot AQ) (từ vuông góc đến song song)
Mà (AP bot AQ)
( Rightarrow OF//AP) (từ vuông góc đến song song)
Xét (Delta ABP) :
O là trung điểm của AB.
OF // AP (cmt)
( Rightarrow F) là trung điểm của BP (định lí đường trung bình của tam giác) (đpcm).
*) CMR ME // NF
Xét (Delta BMQ,,left( {angle BMQ = {{90}^0}} right))
ME là đường trung tuyến (E là trung điểm BQ)
( Rightarrow ME = dfrac{1}{2}BQ) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
( Rightarrow ME = EB).
Xét (Delta OME) và (Delta OBE)
(begin{array}{l}OM = OB = ROE,,chungME = BE,,left( {cmt} right)end{array})
( Rightarrow Delta OME = Delta OBE,,left( {c.c.c} right))
( Rightarrow angle OME = angle OBE = {90^0}) (2 góc tương ứng)
( Rightarrow ME bot MN)
CMTT : (NF bot MN)
( Rightarrow ME//NF) (từ vuông góc đến song song) (đpcm).
4) Khi đường thẳng MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
(begin{array}{l}{S_{MNPQ}} = {S_{PAQ}} – {S_{MAN}}{S_{MNPQ}} = dfrac{1}{2}AB.PQ – dfrac{1}{2}AM.AN{S_{MNPQ}} = dfrac{1}{2}.2R.PQ – dfrac{1}{2}AM.AN{S_{MNPQ}} = R.PQ – dfrac{1}{2}AM.ANend{array})
(begin{array}{l}PQ = PB + BQ ge 2sqrt {PB.BQ} Leftrightarrow PQ ge 2sqrt {A{B^2}} Leftrightarrow PQ ge 2sqrt {{{left( {2R} right)}^2}} Leftrightarrow PQ ge 4Rend{array})
+) (A{M^2} + A{N^2} ge 2sqrt {A{M^2}.A{N^2}} )
(begin{array}{l} Leftrightarrow M{N^2} ge 2AM.AN Leftrightarrow {left( {2R} right)^2} ge 2AM.AN Leftrightarrow 4{R^2} ge 2AM.AN Leftrightarrow AM.AN le 2{R^2} Leftrightarrow – dfrac{1}{2}AM.AN ge – dfrac{1}{2}.2{R^2} Leftrightarrow – dfrac{1}{2}AM.AN ge – {R^2}end{array})
(begin{array}{l} Rightarrow {S_{MNPQ}} = R.PQ – dfrac{1}{2}AM.AN ge R.4R + left( { – {R^2}} right){S_{MNPQ,,min }} = 3{R^2} Leftrightarrow left{ begin{array}{l}BP = BQA{M^2} = A{N^2}end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}BP = BQAM = ANend{array} right.end{array})
( Rightarrow Delta AMN) vuông cân tại A ( Rightarrow MN bot OA).
Vậy ({S_{MNPQ}}) nhỏ nhất là (3{R^2} Leftrightarrow MN bot AB).