Bạn đang học Toán 10 và gặp khó khăn với dạng bài bất phương trình chứa tham số? Một trong những yêu cầu quan trọng thường gặp là tìm m để bất phương trình vô nghiệm. Đây là dạng toán không chỉ rèn tư duy logic mà còn đòi hỏi bạn phải vận dụng linh hoạt điều kiện xác định, xét dấu và đánh giá biểu thức. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết cách giải, các bước lập luận chặt chẽ và ví dụ minh họa rõ ràng để bạn nắm chắc kỹ năng xử lý bất phương trình chứa tham số lớp 10.
Tìm m để bất phương trình vô nghiệm vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.
Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.
Tìm m để bất phương trình vô nghiệm
A. Cách giải bất phương trình chứa tham số
Cho hàm số (fleft( x right)=a{{x}^{2}}+bx+c:)
B. Bài tập tìm m để bất phương trình vô nghiệm
Ví dụ 1: Tìm tham số m để bất phương trình (left( m+2 right){{x}^{2}}+left( m+3 right)x-m>0) vô nghiệm với mọi (xin mathbb{R})?
Hướng dẫn giải
TH1: (m+2=0Leftrightarrow m=-2 Leftrightarrow -x+2>0)
Vậy m = -2 thì bất phương trình có nghiệm.
TH2: (m+2ne 0Leftrightarrow mne -2)
Để bất phương trình (f(x)>0) vô nghiệm (xin mathbb{R}) thì (f(x)le 0) có nghiệm với (xin mathbb{R})
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a<0 Delta le 0 end{matrix} right. Rightarrow left{ begin{matrix} m+2<0 {{(m+3)}^{2}}+4left( m+2 right)le 0 end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} m<-2 5{{m}^{2}}+14m+9le 0 end{matrix} right.)
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} m <-2 min [dfrac{-9}{5};-1] end{matrix}right.)
Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2: Cho bất phương trình (m{{x}^{2}}-{{m}^{2}}-mx+4>0). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình vô nghiệm (forall xin mathbb{R})?
Hướng dẫn giải
TH1: (m=0Leftrightarrow 4>0) (loại).
TH2: (mne 0)
Để bất phương trình (f(x)>0) vô nghiệm (xin mathbb{R}) thì (f(x)le 0) có nghiệm với mọi (xin mathbb{R})
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a<0 Delta le 0 end{matrix} right. Rightarrowleft{ begin{matrix} m<0 Delta le 0 end{matrix} right.)
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} m<0 {{m}^{2}}-4mleft( 4-{{m}^{2}} right)le 0 end{matrix} right.)
(Leftrightarrow min (-infty ,frac{-1-sqrt{257}}{8}])
Vậy BPT vô nghiệm khi (min (-infty ,frac{-1-sqrt{257}}{8}])
Ví dụ 3: Cho bất phương trình (m{{x}^{2}}-2left( m+1 right)x+m+7le 0). Tìm tham số m để bất phương trình vô nghiệm (forall xin mathbb{R})?
Hướng dẫn giải
TH1: (m=0Leftrightarrow 7le 0) (loại).
TH2: (mne 0)
Để bất phương trình (f(x)le 0) vô nghiệm (xin mathbb{R}) thì (f(x)>0) có nghiệm với mọi (xin mathbb{R})
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a>0 Delta <0 end{matrix} right.)
(left{ begin{matrix} m>0 Delta ‘<0 end{matrix} right.)(Leftrightarrow left{ begin{matrix} m<0 {{left( m+1 right)}^{2}}-mleft( m+7 right)<0 end{matrix} right.)(Leftrightarrow left{ begin{matrix} m<0 -5m+1<0 end{matrix} right.)(vô lí)
Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 4: Với giá trị nào của (m) thì bất phương trình (x^{2} – x + m leq 0) vô nghiệm?
Hướng dẫn giải
Bất phương trình (x^{2} – x + m leq 0) vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình:
(x^{2} – x + m > 0,forall xmathbb{in R})(Leftrightarrowleft{ begin{matrix} Delta < 0 1 > 0 end{matrix} right.)
(Leftrightarrow 1 – 4m < 0 Leftrightarrow m> frac{1}{4}).
Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số (m) để bất phương trình (left( m^{2} – 4 right)x^{2} + (m – 2)x + 1 < 0) vô nghiệm.
Hướng dẫn giải
• Xét (m^{2} – 4 = 0 Leftrightarrow m = pm 2)
Với (m = – 2), bất phương trình trở thành (x > frac{1}{4}): không thỏa mãn.
Với (m = 2), bất phương trình trở thành (1 < 0): vô nghiệm.
Do đó (m = 2) thỏa mãn.
• Xét (m neq pm 2). Theo yêu cầu bài toán
(Leftrightarrow left( m^{2} – 4 right)x^{2} + (m – 2)x + 1 geq 0, forall xmathbb{in R})
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} m^{2} – 4 > 0 Delta = (m – 2)^{2} – 4left( m^{2} – 4 right) leq 0 end{matrix} right.)(Leftrightarrow left{ begin{matrix} m leq – frac{10}{3} m > 2 end{matrix} right.)
Kết hợp hai trường hợp, ta được (m leq – frac{10}{3}) hoặc (m geq 2).
Ví dụ 6: Phương trình (mx^{2} – (3m + 2)x + 1 = 0). Kết luận nào sau đây đúng?
A. Luôn có hai nghiệm với mọi giá trị (m).
B. Vô nghiệm với mọi giá trị (m).
C. Luôn có nghiệm với mọi giá trị (m).
D. Luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị (m).
Hướng dẫn giải
Với (m = 0) phương trình trở thành (- 2x + 1 = 0 Leftrightarrow x = frac{1}{2}) suy ra phương trình có nghiệm
Với (m neq 0), ta có (Delta = (3m + 2)^{2} – 4m = 9m^{2} + 8m + 4)
Vì tam thức (9m^{2} + 8m + 4) có (a_{m} = 9 > 0, Delta’_{m} = – 20 < 0) nên (9m^{2} + 8m + 4 > 0) với mọi (m)
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
Chọn C.
Ví dụ 7: Cho bất phương trình (f(x) = 3x^{2} + 2(2m – 1)x + m + 4 leq 0), trong đó m là tham số, (mmathbb{in Z}). Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để bất phương trình vô nghiệm?
A. Vô số B. 2 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải
Bất phương trình (f(x) leq 0) vô nghiệm
(Leftrightarrow f(x) > 0;forall xmathbb{in R Leftrightarrow}Delta’ < 0)
(Leftrightarrow 4m^{2} – 7m – 11 < 0 Leftrightarrow – 1 < m < frac{11}{4}).
Mà (mmathbb{in Z Rightarrow}m in left{ 0;1;2 right})
Đáp án C.
Ví dụ 8: Cho bất phương trình (f(x) = mx^{2} + (2m – 1)x + m + 1 < 0) (m là tham số). Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm. S chứa khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. (( – 1;0)) B. ((0;1)) C. ((1;2)) D. ((2;3))
Hướng dẫn giải
Ta tìm điều kiện của m để bất phương trình (f(x) < 0) vô nghiệm.
– TH1: m = 0. Khi đó (f(x) = – x + 1 < 0 Leftrightarrow x > 1).
Vậy với m = 0 thì bất phương trình (f(x) < 0) có nghiệm.
– TH2: (m ne 0). Khi đó bất phương trình (f(x) < 0) vô nghiệm (Leftrightarrow f(x) geq 0;forall xmathbb{in R})
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} m > 0 Delta leq 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m > 0 1 – 8m leq 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m > 0 m geq frac{1}{8} end{matrix} right. Leftrightarrow m geq frac{1}{8}).
Vậy (m geq frac{1}{8}) thì bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm.
Suy ra với (m < frac{1}{8}) thì bất phương trình f(x) < 0 có nghiệm (Rightarrow S = left( – infty;frac{1}{8} right)).
Vậy S chứa khoảng (( – 1;0)).
Ví dụ 9: Giá trị lớn nhất của tham số m để hệ bất phương trình (left{ begin{matrix} – x^{2} + x + 12 > 0 x < m – 1 end{matrix} right.) vô nghiệm là:
A. (- 4) B. (- 3) C. (- 2) D. (- 1)
Hướng dẫn giải
Ta có:
(left{ begin{matrix} – x^{2} + x + 12 > 0 x < m – 1 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} – 3 < x < 4 x < m – 1 end{matrix} right.).
Hệ trên vô nghiệm (Leftrightarrow m – 1 leq – 3) (Leftrightarrow m leq – 2).
Ví dụ 10. Cho bất phương trình:
((2m + 1)x^{2} + 3(m + 1)x + m + 1 > 0)Biết tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình vô nghiệm là đoạn (lbrack a;brbrack). Tính độ dài đoạn (lbrack a;brbrack) trên trục số.
A. 6 B. (frac{1}{7}) C. 4 D. (frac{3}{7})
Hướng dẫn giải
* Trường hợp 1:
(2m + 1 = 0 Leftrightarrow m = – frac{1}{2}).
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: (frac{3}{2}x + frac{1}{2} > 0 Leftrightarrow x > – frac{1}{3}).
* Trường hợp 2: (2m + 1 neq 0).
Khi đó bất phương trình đã cho vô nghiệm (Leftrightarrow left{ begin{matrix} 2m + 1 < 0 Delta = (m + 1)(m + 5) leq 0 end{matrix} right.)
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} m < – frac{1}{2} – 5 leq m leq – 1 end{matrix} right. Leftrightarrow m in lbrack – 5; – 1rbrack).
Vậy đoạn (lbrack a;brbrack) có độ dài là: (- 1 – ( – 5) = 4).
III. Bài tập tự rèn luyện tìm m để bất phương trình vô nghiệm có đáp án
Bài tập 1. Tìm (m) để phương trình sau vô nghiệm
a) (x^{2} – 2mx + m + 3 = 0)
A. (m in left( frac{1 – 2sqrt{13}}{2};frac{1 + 2sqrt{13}}{2} right)) B. (m in left( frac{1 – 3sqrt{13}}{2};frac{1 + 3sqrt{13}}{2} right))
C. (m in left( frac{1 – 4sqrt{13}}{2};frac{1 + 4sqrt{13}}{2} right)) D. (m in left( frac{1 – sqrt{13}}{2};frac{1 + sqrt{13}}{2} right))
b) ((m – 1)x^{2} – (2m – 2)x + 2m = 0)
A. (leftlbrack begin{matrix} m geq 2 m < – 2 end{matrix} right.) B. (leftlbrack begin{matrix} m geq 3 m < – 3 end{matrix} right.) C. (leftlbrack begin{matrix} m geq 1 m < – 1 end{matrix} right.) D.(leftlbrack begin{matrix} m geq 4 m < – 4 end{matrix} right.)
Bài tập 2. Với giá trị nào của (m) thì bất phương trình (x^{2} – x + m leq 0) vô nghiệm?
A. (m < 1). B. (m > 1). C. (m < frac{1}{4}). D. (m > frac{1}{4}).
Bài tập 3. Với giá trị nào của (m) thì phương trình (sqrt{x^{2} – 2m} + 2sqrt{x^{2} – 1} = x) vô nghiệm?
A. (m leq frac{2}{3}). B. (m < 0) hoặc (m > frac{2}{3}). C. (0 leq m leq frac{2}{3}). D. (m = 0).
Bài tập 4. Để bất phương trình (5x^{2} – x + m leq 0) vô nghiệm thì (m) thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A. (m leq frac{1}{5}). B. (m > frac{1}{20}). C. (m leq frac{1}{20}). D. (m > frac{1}{5}).
Bài tập 5. Cho (mx^{2} – 2mx + m – 1 > 0) (với m là tham số). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. (m leq 0) bất phương trình có tập nghiệm là (S = varnothing).
B. (m > 0) bất phương trình có tập nghiệm là (S = ( – infty;frac{m – sqrt{m}}{m}) cup (frac{m + sqrt{m}}{m}; + infty)).
C. Cả A, B đều đúng.
D. Cả A, B đều sai.
D. Đáp án bài tập tự rèn luyện
Bài tập 1.
a) Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi (Delta’ < 0)
(Leftrightarrow m^{2} – m – 3 < 0 Leftrightarrow frac{1 – sqrt{13}}{2} < x < frac{1 + sqrt{13}}{2})
Vậy với (m in left( frac{1 – sqrt{13}}{2};frac{1 + sqrt{13}}{2} right)) thì phương trình vô nghiệm.
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
–
Với phương pháp và ví dụ đã trình bày, bạn có thể thấy rằng việc tìm m để bất phương trình vô nghiệm hoàn toàn nằm trong tầm tay nếu hiểu đúng bản chất và biết áp dụng từng bước. Hãy luyện tập thật nhiều để không chỉ làm chủ dạng toán bất phương trình chứa tham số lớp 10 mà còn tăng khả năng tư duy và giải quyết bài toán nhanh, chính xác hơn.
Đừng quên lưu lại bài viết này để ôn tập khi cần, chia sẻ cho bạn bè cùng học, và khám phá thêm nhiều chuyên đề Toán 10 khác trên trang để củng cố nền tảng vững chắc cho các kỳ kiểm tra và kỳ thi quan trọng sắp tới. Chúc bạn học tốt và chinh phục điểm số cao!