Trong quá trình ôn luyện Toán lớp 9 để chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, việc nắm vững các dạng toán liên quan đến điều kiện vô nghiệm của phương trình là vô cùng quan trọng. Một trong những bài toán thường gặp là “Tìm m để phương trình vô nghiệm” – dạng bài kiểm tra khả năng tư duy đại số, xử lý tham số và vận dụng điều kiện nghiệm một cách linh hoạt. Ở chuyên đề này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết cách giải, mẹo nhận biết nhanh và các ví dụ minh họa cụ thể để giúp học sinh củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng làm bài thi hiệu quả.
I. Khi nào phương trình vô nghiệm?
Điều kiện để phương trình vô nghiệm
II. Bài tập tìm m để phương trình vô nghiệm
Gợi ý giải
Do hệ số ở biến x2 có chứa tham số m, nên khi giải bài toán ta phải chia hai trường hợp là m = 0 và m ≠ 0.
Hướng dẫn giải
Bài toán được chia thành 2 trường hợp
TH1: m = 0
Phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn (2x + 1 = 0 Leftrightarrow x = frac{{ – 1}}{2})(loại)
Với m = 0 thì phương trình mx2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0 có nghiệm (x = frac{{ – 1}}{2})
TH2: m ≠ 0
Phương trình trở thành phương trình bậc hai một ẩn:
mx2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0
Để phương trình vô nghiệm thì ∆’ < 0
⇔ (m – 1)2 – m(m – 1) < 0
⇔ m2 -2m + 1 – m2 – m < 0
⇔ -3m < -1(Leftrightarrow m > dfrac{1}{3})
Vậy với (m > frac{1}{3}) thì phương trình mx2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0 vô nghiệm.
Hướng dẫn giải
Phương trình vô nghiệm.
(Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} a = 0;b’ = 0;c neq 0 a neq 0;Delta’ < 0 end{matrix} right.)(Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} m = 0;m + 1 = 0;m – 2 neq 0 m neq 0,4m + 1 < 0 end{matrix} right.)
(Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} m = 0;m = – 1;m neq 2 m neq 0,m < frac{1}{4} end{matrix} right. Leftrightarrow m < frac{1}{4})
Vậy để phương trình đã cho vô nghiệm thì (m <1/4).
Hướng dẫn giải
Ta có: (Delta = 9 – 4m)
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a neq 0 Delta > 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 9 – 4m > 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 m < dfrac{9}{4} end{matrix} right.)
Vậy (m neq 0;m < frac{9}{4}) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Phương trình có nghiệm kép
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a neq 0 Delta = 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 9 – 4m = 0 end{matrix} right.)(Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 m = dfrac{9}{4} end{matrix} right. Leftrightarrow m = dfrac{9}{4})
Vậy (m = frac{9}{4}) thì phương trình có nghiệm kép.
c) Xét a = 0 ⇔ m = 0 phương trình đã cho trở thành (- 3x + 1 = 0 Leftrightarrow x = frac{1}{3})
Vậy phương trình có một nghiệm.
Xét a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 phương trình vô nghiệm
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a neq 0 Delta < 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 9 – 4m < 0 end{matrix} right.)(Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 m > cfrac{9}{4} end{matrix} right. Leftrightarrow m > dfrac{9}{4})
Vậy (m > frac{9}{4}) thì phương trình vô nghiệm.
d) Xét a = 0 ⇔ m = 0 theo câu c ta có phương trình có nghiệm duy nhất (x = frac{1}{3}(*))
Xét a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 phương trình có nghiệm
(Leftrightarrow Delta geq 0 Leftrightarrow 9 – 4m geq 0 Leftrightarrow m leq frac{9}{4}(**))
Từ (*) và (**) ta có: (m leq frac{9}{4}) thì phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Ta có: x4 – mx2 + 4 = 0 (*)
Đặt (t = x^{2};(t geq 0)) ta có phương trình t2 – mt + 4 = 0 (2)
(Delta = m^{2} – 16)
a) Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm dương phân biệt:
(Leftrightarrow left{ begin{matrix} Delta > 0 S > 0 P > 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m^{2} – 16 > 0 m > 0 4 > 0 end{matrix} right.)(Leftrightarrow left{ begin{matrix} leftlbrack begin{matrix} m > 4 m < – 4 end{matrix} right. m > 0 end{matrix} right. Leftrightarrow m > 4)
b) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm trái dấu
(Leftrightarrow ac < 0 Leftrightarrow 4 < 0) (vô lí)
Vậy không có giá trị nào của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
c) Phương trình (*) vô nghiệm khi (2) vô nghiệm hoặc (2) có hai nghiệm âm.
(2) vô nghiệm (Leftrightarrow Delta < 0 Leftrightarrow m^{2} – 16 < 0 Leftrightarrow – 4 < m < 4)
(2) có hai nghiệm âm
(Leftrightarrow left{ begin{matrix}Delta geq 0 S < 0 P > 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix}m^{2} – 16 geq 0 m < 0 4 > 0 end{matrix} right.)( Leftrightarrow left{ begin{matrix}leftlbrack begin{matrix}m geq 4 m leq – 4 end{matrix} right. m < 0 end{matrix} right. Leftrightarrow m leq – 4)
Suy ra m < 4 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Gợi ý giải
Do hệ số ở biến x2 là một số khác 0 nên phương trình là phương trình bậc hai một ẩn. Ta sẽ áp dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm vào giải bài toán.
Hướng dẫn giải
Để phương trình 5×2 – 2x + m = 0 vô nghiệm thì ∆’ < 0
(begin{array}{l} Leftrightarrow 4 – 5m < 0 Leftrightarrow m > frac{4}{5} end{array})
Vậy với (m > frac{4}{5}) thì phương trình 5×2 – 2x + m = 0 vô nghiệm
Gợi ý giải
Do hệ số ở biến x2 là một số khác 0 nên phương trình là phương trình bậc hai một ẩn. Ta sẽ áp dụng điều kiện để phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm vào giải bài toán.
Hướng dẫn giải
Để phương trình 3×2 + mx + m2 = 0 vô nghiệm thì ∆ < 0
⇔ m2 – 4.3.m2 < 0
⇔ -11m2 < 0; ∀m ≠ 0
Vậy với mọi m ≠ 0 thì phương trình 3×2 + mx + m2 = 0 vô nghiệm
Gới ý giải
Do hệ số ở biến x2 có chứa tham số m, nên khi giải bài toán ta phải chia hai trường hợp là m = 0 và m ≠ 0.
Hướng dẫn giải
TH1: m = 0
Phương trình trở thành phương trình bậc nhất một ẩn 0x = -3 (phương trình vô nghiệm)
Với m = 0 thì phương trình vô nghiệm
TH2: m ≠ 0
Để phương trình m2x2 – 2m2x + 4m2 + 6m + 3 = 0 vô nghiệm thì ∆’ < 0
(Leftrightarrow {left( { – {m^2}} right)^2} – {m^2}left( {4{m^2} + 6m + 3} right) < 0)
(Leftrightarrow – 3{m^4} – 6{m^3} – 3{m^2} < 0)
(Leftrightarrow – 3{m^2}.left( {{m^2} + 2m + 1} right) < 0)
(Leftrightarrow – 3{m^2}.{left( {m + 1} right)^2} < 0forall m ne – 1)
Vậy với mọi m ≠ – 1 thì phương trình m2x2 – 2m2x + 4m2 + 6m + 3 = 0 vô nghiệm
Hướng dẫn giải
Phương trình: (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0 (1)
– Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (1) trở thành:
2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình (1) có một nghiệm
Do đó m = 2 không phải là giá trị cần tìm.
– Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:
Δ’ = (2m – 3)2 – (m – 2)(5m – 6)
= 4m2 – 12m + 9 – 5m 2 + 6m + 10m – 12
= -m2 + 4m – 3 = (-m + 3)(m – 1)
(1) vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ (-m + 3)(m – 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)
Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.
III. Bài tập tự luyện tìm m để phương trình vô nghiệm
Bài 1. Tìm m để phương trình x4 + (1 – 2m)x2 + m2 – 1 = 0 (1) vô nghiệm
A. không tồn tại m B. m < -1 hoặc m > 5/4 C. m > -1 hoặc m < -3 D. m > 2 hoặc m < -1
Bài 2. Tìm các giá trị của m để các phương trình dưới đây vô nghiệm
a, x2 – (3m + 1)x – 2m + 1 = 0 h, x2 + 2x + m – 2 = 0 b, 3×2 – 2x + m = 0 i, 5×2 + 18x + m = 0 c, 4×2 + mx + m2 = 0 k, 48×2 + mx – 5 = 0 d, x2 – (m + 5)x – m + 6 = 0 l, x2 – 2x – m = 3 e, 2×2 – 6x + 3m – 5 = 0 p, (m + 1)x2 – (2m + 1)x + m – 2 = 0 f, mx2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 q, (m + 1)x2 – (2m + 1)x + m – 2 = 0 g. (m – 1)x4 + 2(m – 3)x 2 + m + 3 = 0
–
Hy vọng qua bài viết “Tìm m để phương trình vô nghiệm”, các bạn học sinh lớp 9 đã hiểu rõ bản chất của dạng toán này cũng như nắm được phương pháp giải một cách khoa học, dễ áp dụng. Để làm tốt các đề thi vào lớp 10, việc luyện tập thường xuyên và rèn luyện kỹ năng phân tích tham số là điều không thể thiếu. Đừng quên theo dõi thêm các bài viết khác trong chuyên mục Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10 để cập nhật kiến thức mới nhất, bám sát cấu trúc đề thi và tăng tốc ôn luyện hiệu quả. Nếu bạn thấy nội dung hữu ích, hãy chia sẻ cho bạn bè cùng học và để lại bình luận nếu có thắc mắc cần giải đáp nhé!