I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Dãy số có giới hạn bằng 0
– Dãy số (left( {{u_n}} right))có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu (left| {{u_n}} right|) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = 0) hay ({u_n} to 0) khi (n to + infty ) hay (lim {u_n} = 0).
* Chú ý:
+ (lim frac{1}{{{n^k}}} = 0,k in mathbb{Z}.)
+ Nếu (left| q right| < 1) thì (lim {q^n} = 0)
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
Ta nói dãy số (left( {{u_n}} right)) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu (mathop {lim }limits_{n to + infty } left( {{u_n} – a} right) = 0), kí hiệu (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = a) hay ({u_n} to a)khi (n to + infty ).
* Chú ý: Nếu ({u_n} = c) (c là hằng số) thì (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = c)
3. Định lí về giới hạn hữu hạn
Cho (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = a,mathop {lim }limits_{n to + infty } {v_n} = b) và c là hằng số thì
- (mathop {lim }limits_{n to + infty } ({u_n} pm {v_n}) = a pm b)
- (mathop {lim }limits_{n to + infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b)
- (mathop {lim }limits_{n to + infty } (frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = frac{a}{b}left( {b ne 0} right))
- Nếu ({u_n} ge 0) thì với mọi n và (mathop {lim }limits_{n to + infty } {u_n} = a) thì (a ge 0) và (mathop {lim }limits_{n to + infty } sqrt {{u_n}} = sqrt a )
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân (left( {{u_n}} right)) có công bội q thỏa mãn (left| q right| < 1) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
(S = frac{{{u_1}}}{{1 – q}}left( {left| q right| < 1} right))
II. Giới hạn vô cực
– Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là có giới hạn ( + infty )khi (n to + infty ) nếu ({u_n}) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = + infty ) hay ({u_n} to + infty ) khi (n to + infty ).
– Dãy số (left( {{u_n}} right)) được gọi là có giới hạn ( – infty )khi (n to + infty ) nếu (mathop {lim }limits_{x to + infty } left( { – {u_n}} right) = + infty ), kí hiệu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = – infty ) hay ({u_n} to – infty ) khi (n to + infty ).
*Nhận xét:
(begin{array}{l}a,lim {n^k} = + infty ,k in mathbb{N},k ge 1.b,lim {q^n} = + infty ;q in mathbb{R},q > 1.end{array})
* Chú ý:
Nếu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = a)và (mathop {lim }limits_{x to + infty } {v_n} = + infty )(hoặc(mathop {lim }limits_{x to + infty } {v_n} = – infty ))thì (mathop {lim }limits_{n to + infty } (frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = 0).
Nếu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = a > 0) và (mathop {lim }limits_{x to + infty } {v_n} = 0,{v_n} > 0)thì (mathop {lim }limits_{n to + infty } (frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = + infty ).
Nếu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = a > 0) và (mathop {lim }limits_{x to + infty } {v_n} = 0,{v_n} < 0)thì (mathop {lim }limits_{n to + infty } (frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = – infty ).
Nếu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {v_n} = a > 0) và (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = + infty )thì (mathop {lim }limits_{n to + infty } ({u_n}.{v_n}) = + infty ).
Nếu (mathop {lim }limits_{x to + infty } {v_n} = a < 0) và (mathop {lim }limits_{x to + infty } {u_n} = + infty )thì (mathop {lim }limits_{n to + infty } ({u_n}.{v_n}) = – infty )
