Tôi biết cái giải thích thông thường, cái mà đủ tốt để tôi làm việc với Phương trình Euler-Lagrange. Kiểu như, “Nếu nó là toàn phần, bạn có các số hạng theo quy tắc chuỗi. Nếu nó là riêng phần, bạn không có, vì tất cả những cái khác được coi là hằng số.”. Tôi đoán đây sẽ là một câu hỏi về toán hơn là vật lý.
Để tiện, tôi sẽ viết đạo hàm riêng phần là d/dx và đạo hàm toàn phần là D/Dx.
Giả sử bạn có Lagrangian thông thường,
L = 1/2 * m * (Dx/Dt)2 – V(x,t)
trong đó V chỉ là một thế năng phụ thuộc vào không gian và thời gian.
Bây giờ trong khóa cơ học lý thuyết của chúng ta, chúng ta đã học rằng nếu dL/dt = zero, năng lượng được bảo toàn. (Vì hệ thống không đổi theo thời gian.)
Giả sử hệ thống của chúng ta không bất biến theo thời gian, nhưng tôi sẽ định nghĩa một hàm f(t) chỉ bao gồm tất cả các phụ thuộc thời gian của V(x,t), làm cho nó thành W(x,f). Rõ ràng đây chỉ là hình thức. Nhưng bây giờ dW(x,f)/dt phải bằng zero, ngay cả khi dV(x,t)/dt =/= 0.
Rõ ràng điều này là vớ vẩn, bởi vì chúng ta chỉ có thể thay thế hàm ra khỏi hàm W, làm cho nó lại phụ thuộc vào t. Tôi hiểu điều đó.
Nhưng bạn không thể đưa ra một lập luận tương tự với x trong V(x) sao?
Nếu hạt di chuyển, rõ ràng x = x(t), ngay cả khi nó vẫn chưa biết. (Nếu chúng ta hình dung các phương trình Lagrange, với các phương trình chuyển động như một hệ phương trình). Vì vậy, về nguyên tắc, bạn có thể có V(x) = V(x(t)) = V(t) làm cho dV/dt =/= zero.
Tôi hiểu rằng điều này thật ngớ ngẩn, nhưng nó có cảm giác như ý tưởng về đạo hàm riêng phần so với đạo hàm toàn phần không được định nghĩa một cách chặt chẽ… Tôi chắc chắn rằng bạn có thể định nghĩa nó một cách chặt chẽ, nhưng chúng ta không bao giờ bận tâm. Coi nó giống như hướng dẫn về những gì cần làm hơn là các định nghĩa toán học thực tế.
Nhưng bạn sẽ định nghĩa đạo hàm riêng phần như thế nào để nó KHÁC với đạo hàm toàn phần và cũng không cho phép những trò hề mà tôi đang vọc vạch?
Có ai đó có thể liên kết cho tôi một tài liệu để tìm hiểu thêm về điều này không? Tất cả những gì tôi có thể tìm thấy khi tìm kiếm “đạo hàm riêng phần so với đạo hàm toàn phần” chỉ là những thứ giới thiệu cố gắng truyền đạt ý tưởng chung.