Một phần của chuỗi bài viết vềCơ học cổ điển F = d d t ( m v ) {displaystyle {textbf {F}}={frac {d}{dt}}(m{textbf {v}})}
- Cổng thông tin Vật lý
- Thể loại
Trong cơ học cổ điển, một dao động điều hoà là một hệ mà khi bị chuyển dời khỏi vị trí cân bằng, thì chịu tác dụng của lực kéo về F tỉ lệ thuận với li độ x:
F → = − k x → , {displaystyle {vec {F}}=-k{vec {x}},}
với k là một hằng số dương.
Nếu F là lực duy nhất tác dụng lên hệ thì hệ này được gọi là một dao động điều hoà đơn giản, và chịu ảnh hưởng của chuyển động điều hoà đơn giản: dao động hình sin xung quanh vị trí cân bằng, với một biên độ không thay đổi và một tần số không thay đổi (không phụ thuộc vào biên độ).
Nếu một lực ma sát tỉ lệ thuận với vận tốc cũng có mặt ở đó, dao động điều hoà được gọi là dao động tắt dần. Tuỳ vào hệ số ma sát, hệ này có thể:
- Dao động với một tần số nhỏ hơn so với trường hợp không tắt dần, và một biên độ giảm dần theo thời gian (dao đông tắt dần chậm).
- Trở về vị trí cân bằng mà không dao động (dao động tắt dần).
Một dao động điều hoà đơn giản là một dao động không tắt dần và cũng không cưỡng bức. Nó gồm có một khối lượng m, chịu tác dụng của một lực F kéo khối lượng theo hướng của điểm x = 0 và chỉ phụ thuộc vào vị trí x của khối lượng đó và một hằng số k. Cân bằng các lực (định luật II Newton) của hệ là:
F = m a = m d 2 x d t 2 = m x ¨ = − k x . {displaystyle F=ma=m{frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=m{ddot {x}}=-kx.}
Sau khi giải phương trình vi phân này, tìm được phương trình của dao động điều hoà:
x ( t ) = A cos ( ω t + φ ) , {displaystyle x(t)=Acos(omega t+varphi ),}
với ω {displaystyle omega } là tần số góc:
ω = k m . {displaystyle omega ={sqrt {frac {k}{m}}}.}
Thế năng của một dao động điều hoà đơn giản tại vị trí x là
W t = 1 2 k x 2 . {displaystyle W_{t}={frac {1}{2}}kx^{2}.}
Giả sử dao động không tắt dần, phương trình vi phân của một con lắc đơn có độ dài l {displaystyle l} , với g {displaystyle g} là gia tốc trọng trường cục bộ, là
d 2 θ d t 2 + g l sin θ = 0. {displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+{frac {g}{l}}sin theta =0.}
Nếu li độ cực đại của con lắc mà nhỏ, có thể coi sin θ ≈ θ {displaystyle sin theta approx theta } và thay vào đó xét phương trình sau:
d 2 θ d t 2 + g l θ = 0. {displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+{frac {g}{l}}theta =0.}
Nghiệm chung cho phương trình vi phân này là
θ ( t ) = A cos ( g l t + φ ) , {displaystyle theta (t)=Acos left({sqrt {frac {g}{l}}}t+varphi right),}
với A {displaystyle A} và φ {displaystyle varphi } là các hằng số phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu. Sử dụng điều kiện ban đầu θ ( 0 ) = θ 0 {displaystyle theta (0)=theta _{0}} và θ ˙ ( 0 ) = 0 {displaystyle {dot {theta }}(0)=0} , nghiệm này được cho bởi
θ ( t ) = θ 0 cos ( g l t ) , {displaystyle theta (t)=theta _{0}cos left({sqrt {frac {g}{l}}}tright),}
với θ 0 {displaystyle theta _{0}} là góc lớn nhất mà con lắc có thể đạt tới (tức là, θ 0 {displaystyle theta _{0}} là biên độ góc của con lắc). Chu kì, hay thời gian đẻ hoàn thành một dao động hoàn toàn, được cho bởi công thức
τ = 2 π l g = 2 π ω , {displaystyle tau =2pi {sqrt {frac {l}{g}}}={frac {2pi }{omega }},}
khá tốt khi được dùng để tỉnh xấp xỉ chu kì thực sự khi θ 0 {displaystyle theta _{0}} nhỏ. Lưu ý rằng giá trị xấp xỉ chu kì τ {displaystyle tau } không phụ thuộc vào biên độ góc θ 0 {displaystyle theta _{0}} .
Kí hiệu Định nghĩa Thứ nguyên Đơn vị SI a {displaystyle a} Gia tốc của khối lượng L T − 2 {displaystyle mathbf {LT^{-2}} } m/s2 A {displaystyle A} Biên độ dao động L {displaystyle mathbf {L} } m c {displaystyle c} Hệ số tắt dần nhớt M T − 1 {displaystyle mathbf {MT^{-1}} } N·s/m f {displaystyle f} Tần số T − 1 {displaystyle mathbf {T^{-1}} } Hz F {displaystyle F} Lực tác động M L T − 2 {displaystyle mathbf {MLT^{-2}} } N g {displaystyle g} Gia tốc trọng trường tại bề mặt Trái Đất L T − 2 {displaystyle mathbf {LT^{-2}} } m/s2 i {displaystyle i} Số ảo, i 2 = − 1 {displaystyle i^{2}=-1} — — k {displaystyle k} Hệ số lò xo (theo Định luật Hooke) M T − 2 {displaystyle mathbf {MT^{-2}} } N/m m , M {displaystyle m,M} Khối lượng M {displaystyle mathbf {M} } kg Q {displaystyle Q} Quality factor — — T {displaystyle T} Chu kì dao động T {displaystyle mathbf {T} } s t {displaystyle t} Thời gian T {displaystyle mathbf {T} } s W t {displaystyle W_{t}} Thế năng của dao động M L 2 T − 2 {displaystyle mathbf {ML^{2}T^{-2}} } J x {displaystyle x} Li độ L {displaystyle mathbf {L} } m ζ {displaystyle zeta } Tốc độ tắt dần — — φ {displaystyle varphi } Pha ban đầu — rad ω {displaystyle omega } Tần số góc T − 1 {displaystyle mathbf {T^{-1}} } rad/s ω 0 {displaystyle omega _{0}} Tần số góc vang tự nhiên T − 1 {displaystyle mathbf {T^{-1}} } rad/s
- Dao động tử điều hoà
- Fowles, Grant R.; Cassiday, George L. (1986), Analytic Mechanics (ấn bản thứ 5), Fort Worth: Saunders College Publishing, ISBN 0-03-96746-5, LCCN 93085193{{Chú thích}}: Quản lý CS1: lỗi ISBN bị bỏ qua (liên kết)
- Hayek, Sabih I. (ngày 15 tháng 4 năm 2003). “Mechanical Vibration and Damping”. Encyclopedia of Applied Physics. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co KGaA. doi:10.1002/3527600434.eap231. ISBN 9783527600434.
- Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (ấn bản thứ 3), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
- Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
- Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 1 (ấn bản thứ 4). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6.
- Wylie, C. R. (1975). Advanced Engineering Mathematics (ấn bản thứ 4). McGraw-Hill. ISBN 0-07-072180-7.
- The Harmonic Oscillator trong cuốn The Feynman Lectures on Physics