Định lý Abel-Ruffini nổi tiếng nói rằng các phương trình đa thức bậc 5 trở lên nói chung không thể giải được chỉ bằng các phép toán số học cơ bản và khai căn. Định lý này rõ ràng là một cột mốc lớn cho toán học, mặc dù việc giới hạn ở khai căn luôn khiến tôi thấy hơi lạ. Ví dụ, đa thức bậc 5 có thể được giải nếu ta cho phép mình sử dụng thêm căn Bring, tức là ánh xạ a -> CănChính(x5 + x + a)
Vậy tại sao ta lại quan tâm đến việc một đa thức có giải được bằng khai căn hay không? Cứ thêm các hàm cho đến khi giải được thôi! Điều này đặt ra một câu hỏi, theo tôi, thú vị hơn nhiều (và có thể khó hơn nhiều): cần thêm bao nhiêu hàm để có thể giải các đa thức bậc n? Và các hàm đó trông như thế nào? Chúng có luôn luôn có dạng nghịch đảo của một đa thức với 1 tham số tự do như căn bậc thông thường hay căn Bring không? Nếu có một cấu trúc nào đó ở đó, vẫn có thể đưa ra các công thức giải tổng quát cho các đa thức có bậc tùy ý.
Ít nhất, do sự phụ thuộc liên tục của các nghiệm vào các hệ số, một cận trên có thể thu được bằng cách áp dụng biến thể của Sprecher cho Định lý biểu diễn Kolmogorov-Arnold vào hàm ánh xạ các hệ số của đa thức thành các nghiệm. Vì vậy, chúng ta biết rằng cần tối đa 2n hàm một biến bổ sung để giải một phương trình đa thức bậc n. Mặc dù cận dưới là bao nhiêu? Và nó tăng trưởng tiệm cận như thế nào với n? Có lý do để tin rằng nó nên tăng trưởng dưới tuyến tính, vì chúng ta thường có thể tái sử dụng các hàm: ví dụ, chúng ta không cần căn bậc 4 một cách rõ ràng vì nó có thể được biểu diễn như một căn bậc hai lồng nhau.
Vậy bạn nghĩ sao? Bạn có biết nghiên cứu nào cố gắng giải quyết vấn đề này không? Trong mọi trường hợp, tôi cũng đã tạo một bài đăng trên MSE một thời gian trước.