Trong chương trình Toán 9, chuyên đề chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy hình học và rèn luyện kỹ năng lập luận chặt chẽ. Đây là dạng bài thường gặp trong đề thi vào lớp 10, đặc biệt ở các câu hỏi vận dụng – vận dụng cao. Tài liệu dưới đây giúp học sinh ôn tập chuyên sâu, qua hệ thống bài tập chọn lọc có lời giải chi tiết, bám sát cấu trúc đề thi, hỗ trợ học sinh chinh phục điểm cao môn Toán.
A. Cách chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn
Định nghĩa: Đường tròn tâm (O)bán kính (R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm (O)một khoảng 
(R) kí hiệu là ((O;R)) hay ((O))
+ Đường tròn đi qua các điểm 
(A_{1},A_{2},…,A_{n})gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác (A_{1}A_{2}…A_{n})
+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác (A_{1}A_{2}…A_{n}) gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó.
Cách xác định tâm đường tròn
+ Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp
+ Trong tam giác đều, tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó.
+ Trong tam giác thường:
- Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó
- Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó
- Phương pháp chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn
Cách chứng minh các điểm cùng nằm trên đường tròn
Để chứng minh các điểm (A_{1},A_{2},…,A_{n}) cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh các điểm (A_{1},A_{2},…,A_{n}) cách đều điểm (O) cho trước.
B. Bài tập chứng minh các điểm cùng thuộc đường tròn
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Vì tam giác (ABC) đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao.
Suy ra (AM,BN,CP) lần lượt vuông góc với (BC,AC,AB).
Từ đó ta có các tam giác (BPC,BNC) là tam giác vuông
Với (BC) là cạnh huyền, suy ra (MP = MN = MB = MC)
Hay: Các điểm (B,P,N,C) cùng thuộc đường tròn
Đường kính (BC = a), tâm đường tròn là
Trung điểm (M)của (BC).
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa
Kéo dài (AD,CB) cắt nhau tại điểm (T) thì tam giác (TCD) vuông tại (T).
+ Do (MN) là đường trung bình của tam giác (ABD) nên (NM//AD)
+ (MQ) là đường trung bình của tam giác (ABC) nên (MQ//BC). Mặt khác (ADbot BC Rightarrow MNbot MQ).
Chứng minh tương tự ta cũng có: (MNbot NP,NPbot PQ). Suy ra (MNPQ) là hình chữ nhật.
Hay các điểm (M,N,P,Q) thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm (O) của hai đường chéo (NQ,MP)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Vì tam giác (ABC) cân tại (A) nên tâm (O) của vòng tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường trung trực của (BC).Gọi (K) là giao điểm của (AO) và (BM)
Dưng các đường trung tuyến (MN,BP) của tam giác (ABM) cắt nhau tại trọng tâm (G).
Do (MN//BC Rightarrow MNbot AO). Gọi (K)là giao điểm của (BM) và (AO) thì (K) là trọng tâm của tam giác (ABC) suy ra (GK//AC).
Mặt khác ta có (OMbot AC) suy ra (GKbot OM) hay (K) là trực tâm của tam giác (OMG Rightarrow MKbot OG).
Như vậy tam giác (BQG) vuông tại (Q). Do đó tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác (GQB) là trung điểm (I) của (BG).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Gọi (N) là trung điểm của (BH) thì (MN) là đường trung bình của tam giác (HBC) suy ra (MNbot AB), mặt khác (BHbot AM Rightarrow N) là trực tâm của tam giác (ABM) suy ra (ANbot BM).
Do (MN// = frac{1}{2}BC Rightarrow MN// = AD) nên (ADMN) là hình bình hành suy ra (AN//DM).
Từ đó ta có: (DMbot BM) hay tam giác (DBM) vuông tại (M) nên tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác (DBM) là trung điểm(O) của (BD).
Ta có
(R = MO = frac{1}{2}BD =frac{1}{2}sqrt{AB^{2} + AD^{2}})(= frac{1}{2}sqrt{4a^{2} + a^{2}} =frac{asqrt{5}}{2}).
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án
Bài tập 1. Cho lục giác đều (ABCDEF) tâm (O). Gọi (M,N) là trung điểm của (CD,DE). (AM) cắt (BN) tại (I). Chứng minh rằng các điểm (M,I,O,N,D) nằm trên một đường tròn.
Bài tập 2. Cho hình vuông (ABCD). Gọi (M) là trung điểm (BC,N) là điểm thuộc đường chéo (AC) sao cho (AN = frac{1}{4}AC). Chứng minh 4 điểm (M,N,C,D) nằm trên cùng một đường tròn.
Bài tập 3. Trong tam giác (ABC) gọi (M,N,P) lần lượt là trung điểm của (AB,BC,CA). Các điểm (A_{1},B_{1},C_{1}) lần lượt là các chân đường cao hạ từ đỉnh (A,B,C) đến các cạnh đối diện. (A_{2},B_{2},C_{2}) là trung điểm của (HA,HB,HC). Khi đó (9) điểm (M,N,P,A_{1},B_{1},C_{1},A_{2},B_{2},C_{2}) cùng nằm trên một đường tròn gọi là đường tròn Ơ le của tam giác.
Bài tập 4. Cho tam giác (ABC) nội tiếp đường tròn ((O)), (AD) là đường kính của ((O)). (M) là trung điểm của (BC,H) là trực tâm của tam giác. Gọi (X,Y,Z) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm (D) lên (HB,HC,BC). Chứng minh 4 điểm (X,Y,Z,M) cùng thuộc một đường tròn.
Bài tập 5. Cho tam giác (ABC) có trực tâm (H). Lấy điểm (M,N) thuộc tia (BC) sao cho (MN = BC) và (M) nằm giữa (B,C). Gọi (D,E) lần lượt là hình chiếu vuông góc của (M,N) lên (AC,AB). Chứng minh các điểm (A,D,E,H) cùng thuộc một đường tròn.
Bài tập 6. Cho tam giác (ABC), (P) là điểm bất kỳ (PA,PB,PC) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC) tại (A_{1},B_{1},C_{1}). Gọi (A_{2},B_{2},C_{2}) là các điểm đối xứng với (A_{1},B_{1},C_{1}) qua trung điểm của (BC,CA,AB). Chứng minh rằng: (A_{2},B_{2},C_{2}) và trực tâm (H) của tam giác (ABC) cùng thuộc một đường tròn.
Đáp án bài tập tự rèn luyện
Bài tập 1
Hình vẽ minh họa:
Do (ABCDEF) là lục giác đều nên (OMbot CD,ONbot DE)
(Rightarrow M,N,C,D) nằm trên đường tròn đường kính (OD).
Vì tam giác (Delta OBN = Delta OAM) nên điểm (O) cách đều (AM,BN) suy ra (OI) là phân giác trong của góc (widehat{AIN}).
Kẻ (left{ begin{matrix} OHbot AM DH_{1}bot AM end{matrix} right. Rightarrow DH_{1} = 2OH) (Do (OH) là đường trung bình của tam giác (DAH_{1})
Kẻ (left{ begin{matrix} OKbot BN DK_{1}bot BN end{matrix} right. Rightarrow DK_{1} = 2OK) (Do (frac{OK}{DK_{1}} = frac{JO}{JD} = frac{1}{2}) với (J = AD cap NB))
Do (OK = OH Leftrightarrow DH_{1} = DK_{1}) suy ra (D) cách đều (AM,BN) hay (ID) là phân giác ngoài của (widehat{AIN} Rightarrow widehat{OID} = 90^{0}).
Vậy 5 điểm (M,I,O,N,D) cùng nằm trên một đường tròn đường kính (OD).
Bài tập 2.
Ta thấy tứ giác (MCDN) có (widehat{MCD} = 90^{0}) nên để chứng minh 4 điểm (M,N,C,D) cùng nằm trên một đường tròn ta sẽ chứng minh (widehat{MND} = 90^{0}).
Cách 1: Kẻ đường thẳng qua (N) song song với (AB) cắt (BC,AD) tại (E,F).
Xét hai tam giác vuông (NEM) và (DFN) (EM = NF = frac{1}{4}AB,EN = DF = frac{1}{4}AB) từ đó suy ra (Delta NEM = Delta DFN)
Do đó (widehat{NME} = widehat{DNF},widehat{MNE} = widehat{NDF} Rightarrow widehat{MNE} + widehat{DNF} = 90^{0})
Hay tam giác (MND) vuông tại (N). Suy ra 4 điểm (M,N,C,D) cùng nằm trên đường tròn đường kính (MD).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
–
Với những dạng bài chứng minh điểm cùng thuộc một đường tròn điển hình và hướng dẫn giải cụ thể, chuyên đề này sẽ là hành trang vững chắc cho học sinh lớp 9 trong quá trình ôn thi vào lớp 10. Hãy luyện tập đều đặn để nắm vững kỹ năng hình học và tự tin bước vào kỳ thi quan trọng sắp tới.
Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu đặc sắc của chúng tôi:
- Giải bài toán bằng cách lập bất phương trình
- Bất đẳng thức tam giác: Công thức, bổ đề mở rộng và bài tập có đáp án chi tiết
- Bài toán thực tế tam giác vuông – Hệ thức cạnh và góc có lời giải chi tiết
- Bài toán thực tế tính lãi suất