a) Ta có:
(left. begin{array}{l}MH bot ABleft( {gt} right) Rightarrow angle MHA = {90^0}MK bot ACleft( {gt} right) Rightarrow angle MKA = {90^0}end{array} right} Rightarrow angle MHA + angle MKA = {90^0} + {90^0} = {180^0}).
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác (AHMK) nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ({180^0})).
b) Dễ thấy tứ giác (ABMC) nội tiếp ( Rightarrow angle HBM = angle MCA) (góc ngoài tại một đỉnh và góc trong đỉnh đối diện)
Xét (Delta HBM) và (Delta KCM) có:
(left. begin{array}{l}angle MHB = angle MKCleft( { = {{90}^0}} right)angle HBM = angle MCAleft( {cmt} right)end{array} right} Rightarrow Delta HBM sim Delta KCMleft( {g.g} right))
( Rightarrow frac{{HM}}{{KM}} = frac{{BM}}{{CM}}) (cạnh tưng ứng) ( Rightarrow MH.MC = MB.MK) (đpcm).
c) Nối (D) với (H), (D) với (K).
Xét tứ giác (BHMD) có (angle BHM + angle BDM = {90^0} + {90^0} = {180^0}).
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên (BHDM) là tứ giác nội tiếp
( Rightarrow angle BDH = angle BMH) (cùng chắn cung (BH)) (1)
Xét tứ giác (CKDM) có (angle MDC = angle MKC = {90^0}) nên tứ giác (CKDM) nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh các góc bằng nhau)
( Rightarrow angle KDC = angle KMC) (cùng chắn cung (KC)) (2)
Mà (Delta HBM sim Delta KCMleft( {cmt} right) Rightarrow angle BMH = angle KMC) (góc tương ứng) (3)
Từ (left( 1 right)), (left( 2 right)) và (left( 3 right)) suy ra (angle BDH = angle KDC) suy ra (H,D,K) thẳng hàng hay (DH + DK = HK).
Ta có: (angle MHD = angle MBD) (cùng chắn cung (MD)) ( Rightarrow angle MHK = angle MBC)
(angle MKD = angle MCD) (cùng chắn cung (MD)) ( Rightarrow angle MKH = angle MCB)
Xét (Delta MHK) và (Delta MBC) có:
(left. begin{array}{l}angle MHK = angle MBCleft( {cmt} right)angle MKH = angle MCBleft( {cmt} right)end{array} right} Rightarrow Delta MHK sim Delta MBCleft( {g.g} right))
( Rightarrow frac{{MH}}{{MB}} = frac{{MK}}{{MC}} = frac{{HK}}{{BC}}) (cạnh tương tứng)
Mà (MH le MB,MK le MC Rightarrow frac{{MH}}{{MB}} = frac{{MK}}{{MC}} le 1) ( Rightarrow frac{{HK}}{{BC}} le 1 Rightarrow HK le BC) cố định.
Dấu “=” xảy ra khi (MH = MB,MK = MC) hay (H equiv B,K equiv C) hay (AB bot BM,AC bot CM)
( Rightarrow angle ABM = angle ACM = {90^0}) hay (A,B,C,M) nằm trên đường tròn đường kính (AM).
Kẻ đường kính (AE) của đường tròn tâm (left( O right)) thì (M equiv E).
Vậy (max left( {DH + DK} right) = BC) khi (M equiv E).