1) Diện tích tam giác ABC là: ({S_1} = dfrac{1}{2}AB.AC = dfrac{1}{2}.4.4 = 8,,left( {c{m^2}} right)).
Áp dụng định lí Pytaho trong tam giác vuông ABC ta có:
(begin{array}{l},,,,,,B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} Rightarrow B{C^2} = {4^2} + {4^2} Rightarrow B{C^2} = 32 Rightarrow BC = 4sqrt 2 ,,left( {cm} right)end{array})
Mà AH là đường cao của tam giác cân ABC đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
( Rightarrow AH = dfrac{1}{2}BC = dfrac{1}{2}.4sqrt 2 = 2sqrt 2 ,,left( {cm} right)).
Diện tích hình quạt ADE bằng ¼ diện tích hình tròn tâm A, bán kính AH nên có diện tích là
({S_2} = dfrac{1}{4}pi .A{H^2} = dfrac{1}{4}pi .{left( {2sqrt 2 } right)^2} = 2pi ,,left( {c{m^2}} right))
Vậy diện tích phần tô đậm là (S = {S_1} – {S_2} = 8 – 2pi ,,left( {c{m^2}} right)).
2)
a) Năm điểm A, M, O, I, N cùng nằm trên một đường tròn và (angle JIM = angle JIN).
* Năm điểm A, M, O, I, N cùng nằm trên một đường tròn
Xét đường tròn (O) có I là trung điểm của dây cung PQ (dây cung PQ không đi qua tâm O)
( Rightarrow OI bot PQ) (quan hệ đường kính và dây cung)
( Rightarrow angle PIO = {90^0} Rightarrow angle AIO = {90^0})
( Rightarrow Delta AIO) vuông tại I
( Rightarrow I) thuộc đường tròn đường kính AO
AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) ( Rightarrow angle AMO = {90^0}) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)
( Rightarrow Delta AMO) vuông tại M
( Rightarrow M) thuộc đường tròn đường kính AO
(AN) là tiếp tuyến của đường tròn (O) ( Rightarrow angle ANO = {90^0}) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)
( Rightarrow N) thuộc đường tròn đường kính AO
Ta có: (I,M,N)cùng thuộc đường tròn đường kính AO
( Rightarrow ) Năm điểm A, M, O, I, N cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).
*(angle JIM = angle JIN)
AM, AN là tiếp tuyến của đường tròn (O)( Rightarrow OA) là phân giác của (angle MON) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
( Rightarrow angle AOM = angle AON)
Ta có:
(angle AOM = angle AIM) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
(angle AON = angle AIN) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
Mà (angle AOM = angle AON,,left( {cmt} right))
( Rightarrow angle AIM = angle AIN)
( Rightarrow JIM = angle JIN) (đpcm)
b) Tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQM và AP.AQ = AI.AJ.
Xét (O) có: (angle MQP = angle AMP) (góc nộ tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung PM)
( Rightarrow MQA = angle AMP)
Xét (Delta AMP) và (Delta AQM) có:
(left. begin{array}{l}angle MAQ,,,chungangle AMP = angle MQA,,left( {cmt} right)end{array} right} Rightarrow Delta AMP sim Delta AQM,,left( {g.g} right))
( Rightarrow dfrac{{AP}}{{AM}} = dfrac{{AM}}{{AQ}}) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
( Rightarrow AP.AQ = A{M^2}) (1)
Ta có: (angle AMN = angle AIN)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
( Rightarrow angle AMJ = angle JIN)
Mà (angle JIM = angle JIN,left( {cmt} right))
(begin{array}{l} Rightarrow angle AMJ = angle JIM,,left( {do,,angle JIM = angle JIN,,cmt} right) Rightarrow angle AMJ = angle AIMend{array})
Xét (Delta AMJ) và (Delta AIM) có:
(left. begin{array}{l}angle MAI,,,chungangle AMJ = angle AIM,,left( {cmt} right)end{array} right} Rightarrow Delta AMJ sim Delta AIM,left( {g.g} right))
( Rightarrow dfrac{{AM}}{{AI}} = dfrac{{AJ}}{{AM}}) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
( Rightarrow AI.AJ = A{M^2}) (2)
Từ (1) và (2) ( Rightarrow AP.AQ = AI.AJ) (đpcm)