a) Chứng minh rằng tứ giác (BDEH) là tứ giác nội tiếp.
Vì (angle ADB) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (left( O right)) nên (angle ADB = {90^0}) hay (angle EDB = {90^0}).
Lại có (CH bot AB) (gt) nên (angle CHB = {90^0} Rightarrow angle EHB = {90^0}).
Xét tứ giác (BDEH) có: (angle EDB + angle EHB = {90^0} + {90^0} = {180^0}).
( Rightarrow BDEH) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng ({180^0})).
b) Chứng minh rằng (A{B^2} = AE.AD + BH.BA).
Vì (ABDC) là tứ giác nội tiếp đường tròn (left( O right)) nên (angle ADC = angle ABC) (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (AC)).
Ta lại có:
(angle ABC + angle CAB = {90^0}) (do tam giác (ABC) có (angle ACB = {90^0}) – góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
(angle ACH + angle CAB = {90^0}) (do tam giác (ACH) vuông tại (H)).
( Rightarrow angle ABC = angle ACH) (2) (cùng phụ với (angle CAB)).
Từ (1) và (2) ( Rightarrow angle ADC = angle ACH) (left( { = angle ABC} right)) hay (angle ADC = angle ACE).
Xét (Delta ACE) và (Delta ADC) có:
(angle CAD) chung;
(angle ACE = angle ADC,,left( {cmt} right)).
(begin{array}{l} Rightarrow Delta ACE sim Delta ADC,,left( {g.g} right) Rightarrow dfrac{{AC}}{{AD}} = dfrac{{AE}}{{AC}} Rightarrow A{C^2} = AE.AD,,,left( * right)end{array})
Xét tam giác (ABC) vuông tại (C), đường cao (CH) ta có:
(B{C^2} = BH.BA,,left( {2*} right)) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Từ (*) và (2*) suy ra (A{C^2} + B{C^2} = AE.AD + BH.BA).
Lại có (Delta ABC) vuông tại (C) nên (A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}) (định lí Pytago).
Vậy (A{B^2} = AE.AD + BH.BA) (đpcm).
c) Đường thẳng qua (E) song song với (AB), cắt (BC) tại (F). Chứng minh rằng (angle CDF = {90^0}) và đường tròn ngoại tiếp tam giác (OBD) đi qua trung điểm của đoạn (CF).
*) Vì (EF//AB,,,left( {gt} right)) nên (angle CFE = angle CBA) (đồng vị).
Mà (angle CBA = angle CDA) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (AC)).
( Rightarrow angle CFE = angle CDA).
( Rightarrow ) Tứ giác (CDFE) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
(angle CDF + angle CEF = {180^0}) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).
Ta lại có:
(left{ begin{array}{l}CH bot AB,,left( {gt} right)EF//AB,,left( {gt} right)end{array} right. Rightarrow EF bot CH) (từ vuông góc đến song song) ( Rightarrow angle CEF = {90^0}).
( Rightarrow angle CDF = {180^0} – angle CEF = {180^0} – {90^0} = {90^0},,left( {dpcm} right)).
*) Gọi (I) là giao điểm của (CF) và đường tròn ngoại tiếp tam giác (OBD).
Ta có:
(begin{array}{l}angle ADB = angle ADF + angle FDB = {90^0}angle CDF = angle ADF + angle CDA = {90^0}end{array})
( Rightarrow angle FBD = angle CDA) (cùng phụ với (angle ADF)).
Mà (angle CDA = angle CBA) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (AC)).
( Rightarrow angle FDB = angle CBA) (left( { = angle CDA} right)).
Mà (angle CBA = angle OBI = angle ODI) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (OI)).
(begin{array}{l} Rightarrow angle FDB = angle ODI Rightarrow angle FDB + angle ODF = angle ODI + angle ODF Rightarrow angle ODB = angle IDF,,left( 3 right)end{array})
Ta có: tứ giác (CDFE) nội tiếp (cmt) nên (angle IFD = angle CFD = angle CED = AEH) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (CD)).
Ta lại có:
(begin{array}{l}angle AEH + angle EAH = {90^0}angle ABD + angle BAD = {90^0}end{array})
Mà (angle EAH = angle BAD) nên (angle AEH = angle ABD = angle OBD) ( Rightarrow angle IFD = angle OBD) (4)
Lại có: (OD = OB,,) (=bán kính) nên (Delta OBD) cân tại (O), do đó (angle OBD = angle ODB) (5).
Từ (3), (4), (5) suy ra (angle IDF = angle IFD) ( Rightarrow Delta IDF) cân tại (I) (định nghĩa) ( Rightarrow ID = IF) (3*) (tính chất tam giác cân).
Ta có:
(angle IDF + angle IDC = angle CDF = {90^0})
(angle IFD + angle ICD = {90^0}) (do tam giác (CDF) vuông tại (D)).
( Rightarrow angle IDC = angle ICD Rightarrow Delta ICD) cân tại (I) (định nghĩa) ( Rightarrow IC = ID) (4*) (tính chất tam giác cân).
Từ (3*) và (4*) suy ra (IC = IF,,left( { = ID} right)).
Vậy (I) là trung điểm của (CF) (đpcm).