a) Tứ giác MFEC nội tiếp.
Ta có: (MF bot AC Rightarrow angle MFC = {90^0})
(ME bot BC Rightarrow angle MEC = {90^0})
Tứ giác (MFEC) có (angle MFC = angle MEC = {90^0}) nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau) (đpcm).
b) Tam giác FEM và tam giác ABM đồng dạng.
Theo câu a, tứ giác (MFEC) nội tiếp nên (angle EFM + angle ECM = {180^0}) (tính chất) (1)
Tứ giác (ABCM) nội tiếp nên (angle BAM + angle BCM = {180^0}) (tính chất) (2)
Từ (1) và (2) ( Rightarrow angle BAM = angle EFM) (cùng bù với (angle BCM))
(angle FEM = angle FCM) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (FM)) (3)
(angle FCM = angle ABM) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (AM)) (4)
Từ (3) và (4) suy ra (angle FEM = angle ABM)
Xét (Delta FEM) và (Delta ABM) có:
(begin{array}{l}angle BAM = angle EFM,,,left( {cmt} right)angle FEM = angle ABM,,,left( {cmt} right) Rightarrow Delta FEM sim Delta ABMleft( {g – g} right),,,left( {dpcm} right)end{array})
c) (MA.MQ = MP.MF) và (angle PQM = {90^0})
Từ câu b ta có: (Delta FEM sim Delta ABM) ( Rightarrow dfrac{{FE}}{{AB}} = dfrac{{MF}}{{MA}}) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
( Rightarrow dfrac{{2FQ}}{{2AP}} = dfrac{{MF}}{{MA}} Rightarrow dfrac{{FQ}}{{AP}} = dfrac{{MF}}{{MA}}) ( Rightarrow dfrac{{AM}}{{AP}} = dfrac{{FM}}{{FQ}})
Xét (Delta MAP) và (Delta MFQ) có:
(begin{array}{l}dfrac{{AM}}{{AP}} = dfrac{{FM}}{{FQ}}angle MAP = angle MFQ,,,,left( {cmt} right) Rightarrow Delta MAP sim Delta MFQ,,,,left( {c – g – c} right)end{array})
( Rightarrow dfrac{{MA}}{{MF}} = dfrac{{MP}}{{MQ}}) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
( Rightarrow MA.MQ = MP.MF) (đpcm)
Lại có (Delta MAP sim Delta MFQ,,,left( {cmt} right))( Rightarrow angle AMP = angle FMQ) (hai góc tương ứng)
(begin{array}{l} Rightarrow angle {M_1} + angle {M_2} = angle {M_2} + angle {M_3} + angle {M_4} Rightarrow angle {M_1} = angle {M_3} + angle {M_4} Rightarrow angle AMF = angle PMQend{array})
Xét (Delta MAF) và (Delta MPQ) có:
(begin{array}{l}angle AMF = angle PMQleft( {cmt} right)dfrac{{MA}}{{MF}} = dfrac{{MP}}{{MQ}}left( {cmt} right) Rightarrow Delta MAF sim Delta MPQ,,,,left( {c – g – c} right)end{array})
( Rightarrow angle MFA = angle MQP) (hai góc tương ứng)
Mà (angle MFA = {90^0}) nên (angle MQP = {90^0}) (đpcm).