a) Do (CE,AD,BF) là các đường cao
( Rightarrow angle BEH = angle BDH = angle AFB = {90^0})
( Rightarrow angle BEH + angle BDH = {90^0} + {90^0} = {180^0})
Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác BEHD nội tiếp (đpcm)
b) Xét tứ giác AFHE có (angle BEH + angle AFH = {90^0} + {90^0} = {180^0})
Mà 2 góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AFHE nội tiếp (dhnb)
( Rightarrow angle HEF = HAF) (góc nội tiếp cùng chắn cung HF)
Mà (angle HAF = angle KIC) (góc nội tiếp cùng chắn cung KC)
( Rightarrow angle HEF = angle KICleft( { = HAF} right)) hay (angle CEN = angle EIC)
Xét (Delta CNE) và (Delta CEI) có:
(angle ECI) chung và (angle CEN = angle EIC,,left( {cmt} right))
( Rightarrow Delta CEN sim Delta CIEleft( {g.g} right) Rightarrow dfrac{{CE}}{{CI}} = dfrac{{CN}}{{CE}}) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
( Leftrightarrow C{E^2} = CI.CN) (đpcm)
c) Ta có: PE = PF (do P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF)
( Rightarrow ) P thuộc trung trực của EF.
(Delta BEC) vuông tại E có M là trung điểm của BC
( Rightarrow ME = MB = MC) (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
(Delta BFC)vuông tại F có M là trung điểm của BC
( Rightarrow MF = MB = MC) (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
=> (ME = MF = MB = MC).
( Rightarrow M) thuộc trung trực của EF.
=> PM là trung trực của EF (*)
Ta cần chứng minh N thuộc trung trực của EF.
Theo ý b) ta có: (Delta CNE sim Delta CEI)
( Rightarrow dfrac{{NE}}{{IE}} = dfrac{{NC}}{{CE}} Rightarrow NE = dfrac{{IE.NC}}{{CE}}).
Xét tứ giác AEHF có: (angle AEH + angle AFH = {90^0} + {90^0} = {180^0})
( Rightarrow AEHF) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ({180^0})).
( Rightarrow angle AHE = angle AFE) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
( Rightarrow {180^0} – angle AHE = {180^0} – angle AFE Rightarrow angle KHE = angle CFN).
Xét (Delta CFN) và (Delta KHE) có:
(angle CFN = angle KHE,,left( {cmt} right))
(angle FCN = angle HKE) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI).
( Rightarrow Delta CFN sim Delta KHE,,left( {g.g} right))
( Rightarrow dfrac{{FN}}{{HE}} = dfrac{{CN}}{{KE}} Rightarrow FN = dfrac{{HE.CN}}{{KE}}) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).
Khi đó ta có: (dfrac{{NE}}{{FN}} = dfrac{{IE.NC}}{{CE}}:dfrac{{HE.CN}}{{KE}} = dfrac{{IE.NC.KE}}{{CE.HE.CN}} = dfrac{{IE.KE}}{{CE.HE}},,,left( 1 right)).
+) Xét (Delta IEA) và (Delta BEK) có:
(angle IEA = angle BEK) (đối đỉnh)
(angle IAE = angle BKE) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BI)
(begin{array}{l} Rightarrow Delta IEA sim Delta BEK,,left( {g.g} right) Rightarrow dfrac{{IE}}{{BE}} = dfrac{{EA}}{{EK}} Rightarrow IE.EK = EA.BE,,left( 2 right)end{array})
+) Xét (Delta AEH) và (Delta CEB) có:
(angle EAH = angle ECB) (cùng phụ với (angle ABC))
(angle AEH = angle CEB = {90^0}) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BI)
(begin{array}{l} Rightarrow Delta AEH sim Delta CEB,,left( {g.g} right) Rightarrow dfrac{{AE}}{{EC}} = dfrac{{EH}}{{EB}} Rightarrow EC.EH = EA.EB,,left( 3 right)end{array})
Thay (2), (3) vào (1) ta có: (dfrac{{NE}}{{FN}} = dfrac{{IE.KE}}{{CE.HE}} = dfrac{{EA.BE}}{{EA.EB}} = 1 Rightarrow NE = FN).
( Rightarrow N) thuộc trung trực của EF (**)
Từ (*) và (**) => M, N, P thẳng hàng (đpcm).