a) Ta có: HE⊥AB, HF⊥AC nên AEH^=AFH^=90°.
Tứ giác AEHF có AEH^, AFH^ là hai góc đối và AEH^+ AFH^=90°+90°=180° nên tứ giác AEHF nội tiếp.
Do AD là đường kính của đường tròn (O) nên ALD^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Tứ giác ALHF có ALH^, AFH^ là hai góc đối và ALH^+ AFH^=90°+90°=180° nên tứ giác ALHF nội tiếp.
b) Ta có: AH⊥BC và HE⊥AB nên EBH^=90°−BHE^=AHE^.
Mà AHE^=AFE^ (do tứ giác AEHF nội tiếp).
Suy ra AFE^=EBC^ (1).
Tứ giác BEFC có góc ngoài tại đỉnh F bằng góc trong tại đỉnh B nên tứ giác BEFC nội tiếp.
Trong đường tròn (O), ta có ABC^=ADC^ (hai góc nội tiếp chắn cung AC) (2).
Từ (1) và (2) suy ra AFE^=ADC^ hay AFK^=KDC^.
Tứ giác CDKF có góc ngoài tại đỉnh F bằng góc trong tại đỉnh D nên tứ giác CDKF nội tiếp.
Suy ra DKF^+CKF^=180°.
Mặt khác ACD^=90° (do AD là đường kính của (O)).
Từ đó suy ra DKF^=90°. Suy ra AD⊥EF tại K.
c) Tứ giác APBC nội tiếp đường tròn (O) nên APC^=ABC^. (3)
Từ (1) và (3) suy ra APC^=AFE^.
Do đó, hai tam giác APF và ACP đồng dạng (g.g).
Suy ra APAC=AFAP.
Nên AP2=AC.AF.
Lại có AH2=AC.AF (áp dụng hệ thức lượng trong ΔACH vuông tại H có đường cao HF).
Do đó, AP2=AH2. Suy ra AP = AH.
Vì các tứ giác AEHF, ALHF nội tiếp nên năm điểm A, E, F, H, L cùng thuộc một đường tròn.
Suy ra tứ giác ALEF nội tiếp.
Từ đó suy ra MEL^=LAF^ (cùng bù với LEF^).
Lập luận tương tự với tứ giác nội tiếp ALBC, ta có MBL^=LAC^.
Từ hai điều trên, suy ra MBL^=MEL^.
Tứ giác MBEL có hai đỉnh kề nhau là B, E cùng nhìn cạnh ML dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác MBEL nội tiếp.
Suy ra MLE^=EBC^ (cùng bù với MBE^). (4)
Từ (1) và (4) suy ra MLE^=AFE^.
Lại có AFE^+ALE^=180° (do tứ giác ALEF nội tiếp).
Do đó, MLE^+ALE^=180°.
Vậy ba điểm A, I, M thẳng hàng.