S A B C D H O M N P Q K E I
a/
Ta có
(CBperp AB) (ABCD là hình vuông)
(SAperpleft(ABCDright)Rightarrow SAperp CB)
(Rightarrow CBperpleft(SABright)) => CB=a là khoảng cách từ C đến mp (SAB)
b/
Trong mp (SAD) dựng đường thẳng vuông góc với SD cắt SD tại H
Ta có
(CDperp AD) (ABCD là hình vuông)
(SAperpleft(ABCDright)Rightarrow SAperp CD)
(Rightarrow CDperpleft(SADright)Rightarrow CDperp AH)
Mà (AHperp SD)
(Rightarrow AHperpleft(SCDright)) => AH là khoảng cách từ A đến mp (SCD)
Xét tg vuông SAD có
(SD=sqrt{SA^2+AD^2}=sqrt{2a^2+a^2}=asqrt{3}) (Pitago)
Ta có
(AD^2=DH.SD) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
(Rightarrow DH=dfrac{AD^2}{SD}=dfrac{a^2}{asqrt{3}}=dfrac{asqrt{3}}{3})
Xét tg vuông ADH có
(AH=sqrt{AD^2-DH^2}) (Pitago)
(Rightarrow AH=sqrt{a^2-dfrac{a^2}{3}}=dfrac{asqrt{6}}{3})
c/ Trong mp (ABCD) Qua O dựng đường thẳng //CD cắt AD tại M và BC tại N => MN//CD (1)
Trong mp (SAD) dựng đường thẳng // AH cắt SD tại Q => MQ // AH
TRong mp (SCD) qua Q dựng đường thẳng //CD cắt SC tại P => QP // CD (2)
Từ (1) và (2) => MN // PQ => M; N; P; Q cùng thuộc 1 mặt phẳng
=> PQ là giao tuyến của mp (MNQP) với mp (SCD)
Trong mp (MNQP) qua O dựng đường thẳng // với MQ cắt QP tại K
Ta có
MQ//AH; OH// MQ => OK//AH
Mà (AHperpleft(SCDright))
(Rightarrow OKperpleft(SCDright)) => OK là khoảng cách từ O đến mp (SCD)
Xét tứ giác MQKO có
MQ//OK; QP//MN => MQKO là hình bình hành => OK = MQ
Xét tg ACD có
OA=OC (t/c đường chéo hình vuông)
MO//CD
=> MA=MD (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lai)
Xét tg ADH có
MA=MD (cmt); MQ//AH => QD = QH (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh // với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh còn lai)
=> MQ là đường trung bình của tg ADH
(Rightarrow OK=MQ=dfrac{AH}{2}=dfrac{1}{2}.dfrac{asqrt{6}}{3}=dfrac{asqrt{6}}{6})
d/
Trong mp (SCD) qua H dựng đường thẳng //CD cắt SC tại E => HE//CD
Ta có
AB // CD (Hai cạnh đối hình vuông)
HE // CD
=> AB//HE => A; B; H; E cùng thuộc một mặt phẳng
Trong mp (AHEB) qua e Dựng đường thẳng // AH cắt AB tại I
Ta có
AH//IE; AB//HE => AHEB là hình bình hành => IE=AH
Ta có
(SAperpleft(ABCDright)Rightarrow SAperp AB)
(ABperp AD) (ABCD là hình vuông)
=> (ABperpleft(SADright)Rightarrow ABperp AH)
Mà AH//IE
(Rightarrow ABperp IE) (1)
Ta có
(AHperpleft(SCDright)) (cmt); mà AH//IE (Rightarrow IEperpleft(SCDright)Rightarrow IEperp SC) (2)
Từ (1) và (2) => IE là khoảng cách giữa AB và SC
(Rightarrow IE=AH=dfrac{asqrt{6}}{3})