Gọi I là trung điểm của SB ta có:
Tam giác vuông tại A nên (IA = IS = IB), vuông tại C nên (IC = IS = IB).
Do đó (IA = IB = IC). Gọi O là tâm tam giác đều ABC ( Rightarrow IO bot left( {ABC} right)).
Trong mặt phẳng tạo bởi SB và BO kẻ (SH//IO,,left( {H in BO} right) Rightarrow SH bot left( {ABC} right)).
Gọi N là trung điểm của BC, (G = AI cap BM Rightarrow ) G là trọng tâm tam giác SAB, trong (AGN) dựng (GJ//IO,,left( {J in AN} right) Rightarrow GJ bot left( {ABCD} right)).
Trong (GJN) kẻ (JK bot GN,,left( {K in GN} right)). Ta có : (left{ begin{array}{l}BC bot GJBC bot JNend{array} right. Rightarrow BC bot left( {GJN} right) Rightarrow BC bot JK Rightarrow JK bot left( {MBC} right) Rightarrow JK = dleft( {J;left( {MBC} right)} right))
Ta có : (begin{array}{l}AJ cap left( {BMC} right) = N Rightarrow frac{{dleft( {A;left( {MBC} right)} right)}}{{dleft( {J;MBC} right)}} = frac{{AN}}{{JN}} = frac{{AN}}{{AN – AJ}}AN = frac{{2asqrt 3 }}{2} = asqrt 3end{array})
Áp dụng định lí Ta-lét ta có : (begin{array}{l}frac{{AJ}}{{AO}} = frac{{AG}}{{AI}} = frac{2}{3} Rightarrow AJ = frac{2}{3}AO = frac{2}{3}.frac{2}{3}AN = frac{4}{9}.frac{{2asqrt 3 }}{2} = frac{{4asqrt 3 }}{9} Rightarrow frac{{dleft( {A;left( {MBC} right)} right)}}{{dleft( {J;left( {MBC} right)} right)}} = frac{{asqrt 3 }}{{asqrt 3 – frac{{4asqrt 3 }}{9}}} = frac{9}{5} Leftrightarrow dleft( {J;left( {MBC} right)} right) = frac{{5dleft( {A;left( {MBC} right)} right)}}{9} = frac{{10sqrt {21} a}}{{63}}end{array}).
Ta có (JN = AN – AJ = asqrt 3 – frac{{4asqrt 3 }}{9} = frac{{5asqrt 3 }}{9}).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông GJN ta có :
(begin{array}{l}frac{1}{{J{K^2}}} = frac{1}{{J{G^2}}} + frac{1}{{J{N^2}}} Leftrightarrow frac{1}{{J{G^2}}} = frac{1}{{J{K^2}}} – frac{1}{{J{N^2}}},,,,,,,,,, = frac{1}{{{{left( {frac{{10sqrt {21} a}}{{63}}} right)}^2}}} – frac{1}{{{{left( {frac{{5asqrt 3 }}{9}} right)}^2}}} = frac{{189}}{{100{a^2}}} – frac{{27}}{{25{a^2}}} = frac{{81}}{{100{a^2}}} Leftrightarrow IG = frac{{10a}}{9}end{array}).
Ta có (begin{array}{l}frac{{JG}}{{IO}} = frac{{AG}}{{AI}} = frac{2}{3} Rightarrow IO = frac{3}{2}JGSH = 2IO Rightarrow SH = 3JG = frac{{10a}}{3} Rightarrow {V_{S.ABC}} = frac{1}{3}.SH.{S_{Delta ABC}} = frac{1}{3}.frac{{10a}}{3}.frac{{{{left( {2a} right)}^2}sqrt 3 }}{4} = frac{{10sqrt 3 {a^3}}}{9}end{array})