Lời giải chi tiết:
Gọi (H) là trung điểm của (AM) ( Rightarrow SH bot left( {ABC} right)).
Dựng hình bình hành (ABCD), ta có (ADparallel BC Rightarrow BCparallel left( {SAD} right) supset SA).
( Rightarrow dleft( {SA;BC} right) = dleft( {BC;left( {SAD} right)} right) = dleft( {M;left( {SAD} right)} right)).
Ta có: (MH cap left( {SAD} right) = A Rightarrow dfrac{{dleft( {M;left( {SAD} right)} right)}}{{dleft( {H;left( {SAD} right)} right)}} = dfrac{{MA}}{{HA}} = 2) ( Rightarrow dleft( {M;left( {SAD} right)} right) = 2dleft( {H;left( {SAD} right)} right)).
Trong (left( {ABCD} right)) kẻ (HK bot AD,,left( {K in AD} right)), trong (left( {SHK} right)) kẻ (HI bot SK,,left( {I in SK} right)) ta có:
(begin{array}{l}left{ begin{array}{l}AD bot SHAD bot HKend{array} right. Rightarrow AD bot left( {SHK} right) Rightarrow AD bot HIleft{ begin{array}{l}HI bot SKHI bot ADend{array} right. Rightarrow HI bot left( {SAD} right) Rightarrow dleft( {H;left( {SAD} right)} right) = HIend{array})
( Rightarrow dleft( {SA;BC} right) = 2HI).
Gọi (N,,,P) lần lượt là trung điểm của (AB,,,AN).
Ta có: (MNparallel AC,,,PHparallel MN Rightarrow PHparallel AC) ( Rightarrow PH bot AB).
Ta có (left{ begin{array}{l}AB bot PHAB bot SHend{array} right. Rightarrow AB bot left( {SHP} right) Rightarrow AB bot SP).
(left{ begin{array}{l}left( {SAB} right) cap left( {ABC} right) = ABSP subset left( {SAB} right),,,SP bot ABPH subset left( {ABC} right),,,PH bot ABend{array} right.) ( Rightarrow angle left( {left( {SAB} right);left( {ABC} right)} right) = angle left( {SP;PH} right) = angle SPH = {60^0}).
Ta có: (MN = dfrac{1}{2}AC = dfrac{{asqrt 3 }}{2}), (PH = dfrac{1}{2}MN = dfrac{{asqrt 3 }}{4}) ( Rightarrow SH = PH.tan {60^0} = dfrac{{3a}}{4}).
Vì (H) là trung điểm của (AM) ( Rightarrow dleft( {H;AD} right) = dleft( {H;BC} right) = dfrac{1}{2}dleft( {A;BC} right)).
( Rightarrow HK = dfrac{1}{2}dleft( {A;BC} right) = dfrac{1}{2}.dfrac{{AB.AC}}{{sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = dfrac{1}{2}.dfrac{{a.asqrt 3 }}{{sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = dfrac{{asqrt 3 }}{4}).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (SHK) ta có: (HI = dfrac{{SH.HK}}{{sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = dfrac{{dfrac{{3a}}{4}.dfrac{{asqrt 3 }}{4}}}{{sqrt {dfrac{{9{a^2}}}{{16}} + dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = dfrac{{3a}}{8}).
Vậy (dleft( {SA;BC} right) = 2HI = dfrac{{3a}}{4}).
Chọn D.