Explanation
Tất cả các câu trên liên quan đến cực trị của hàm số, yêu cầu xác định số điểm cực trị hoặc tham số để hàm số đạt cực đại/cực tiểu tại một điểm nào đó.
Question 1 (Câu 38)
Concepts
Các điểm cực trị, tìm nghiệm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, nhân tử bội lẻ/chẵn, xét sự đổi dấu của đạo hàm.
Explanation
Một điểm cực trị xảy ra tại nghiệm của f′(x)=0 mà tại đó đạo hàm đổi dấu khi đi qua nghiệm đó.
Step-By-Step Solution
Step 1
Phân tích các nhân tử của f′(x): f′(x)=(x−1)(x2−2)(x4−4)
- x−1=0⇒x=1
- x2−2=0⇒x=±2
- x4−4=0⇒x4=4⇒x=±2 (Vì 24=4, (−2)4=4)
Vậy x=±2 là nghiệm kép (chúng xuất hiện ở cả hai nhân tử).
(x4−4)=(x2−2)(x2+2) Vậy: f′(x)=(x−1)(x2−2)2(x2+2) Nghiệm:
- x=1 (bội 1)
- x=2, x=−2 (bội 2)
- x2+2=0⇒x2=−2 (vô nghiệm thực)
Step 2
Nghiệm bội chẵn (x=±2): không đổi dấu khi qua nghiệm, nên không phải điểm cực trị. Nghiệm bội lẻ (x=1): đạo hàm đổi dấu nên là điểm cực trị.
Step 3
Kết luận: chỉ có 1 điểm cực trị tại x=1
Final Answer
Đáp án D. 1
Question 2 (Câu 39)
Concepts
Tìm nghiệm đạo hàm, xét dấu đạo hàm, điểm cực trị là các nghiệm bội lẻ của đạo hàm.
Explanation
Điểm cực trị xảy ra tại nghiệm của f′(x)=0 mà tại đó đạo hàm đổi dấu.
- Nghiệm bội chẵn: đạo hàm không đổi dấu, không phải điểm cực trị.
- Nghiệm bội lẻ: đạo hàm đổi dấu, là điểm cực trị.
Step-By-Step Solution
Step 1
Phân tích các nhân tử: f′(x)=x2(x+2)(x2+x−2)(x−1)4
- x2=0⇒x=0 (bội 2)
- x+2=0⇒x=−2 (bội 1)
- x2+x−2=0⇒x=1,x=−2
- x−1=0⇒x=1 (bội 4)
Phân tích x2+x−2=(x−1)(x+2), do đó:
- x=−2 (bội 2)
- x=1 (bội 5: x−1 từ (x2+x−2) và (x−1)4)
- x=0 (bội 2)
Nghiệm với bội lẻ:
- Không có x nào là bội lẻ (bội 2, bội 2, bội 5 nhưng lại là bội lẻ, phải kiểm tra kỹ). Nhưng thực chất:
- x=1 bội 5 (lẻ) ⇒ là điểm cực trị.
- x=−2 bội 2 (chẵn) ⇒ không phải điểm cực trị.
- x=0 bội 2 ⇒ không phải điểm cực trị.
Step 2
Điểm cực trị duy nhất là x=1.
Final Answer
Đáp án C. x=1
Question 3 (Câu 40)
Concepts
Tìm tham số để đạt cực đại tại một điểm, điều kiện cho cực đại (đạo hàm bằng 0, đạo hàm bậc 2 âm).
Explanation
Để hàm số đạt cực đại tại x=3:
- y′(3)=0
- y′′(3)<0
Step-By-Step Solution
Step 1: Tính đạo hàm cấp 1
y′=x2−2mx+m2−4
Step 2: Đưa x=3 vào đạo hàm cấp 1
y′(3)=32−2m×3+m2−4=9−6m+m2−4=m2−6m+5 Để y′(3)=0: m2−6m+5=0⇒m=1 hoặc m=5
Step 3: Tính đạo hàm cấp 2
y′′=2x−2m y′′(3)=2×3−2m=6−2m Để x=3 là cực đại: y′′(3)3
Step 4: So sánh với các giá trị vừa tìm được (m=1 và m=5)
- m=1: không thỏa m>3
- m=5: thỏa m>3
Final Answer
Đáp án C. m=5
Question 4 (Câu 41)
Concepts
Tìm tham số để hàm đạt cực tiểu tại điểm cho trước, điều kiện đạo hàm cấp 1 bằng 0, đạo hàm bậc 2 dương.
Explanation
Để hàm số đạt cực tiểu tại x=−1:
- y′(−1)=0
- y′′(−1)>0
Step-By-Step Solution
Step 1: Tính đạo hàm cấp 1
y′=4×3−4mx
Step 2: Thay x=−1
y′(−1)=4(−1)3−4m(−1)=−4+4mimpliesy′(−1)=0⟹4m=4⟹m=1
Step 3: Tính đạo hàm cấp 2
y′′=12×2−4my′′(−1)=12×1−4m=12−4my” = 12x^2 – 4my”(-1) = 12 times 1 – 4m = 12 – 4my′′=12×2−4my′′(−1)=12×1−4m=12−4m
Để y′′(−1)>0⟹12−4m>0⟹m<3
Step 4: Kiểm tra m=1 có thuộc m<3 không? Đúng.
Final Answer
Đáp án B. m=1