Giải chi tiết
Xét hàm số y=f(x)=ax3+bx2+cx+d, biết hai điểm cực trị là A(1;−1) và B(−31;−272).
1. Điều kiện cực trị (Bước đầu giải hệ)
Điểm cực trị ⇔f′(x0)=0. Vậy:
- f′(x)=3ax2+2bx+c
Tại A(1;−1): f′(1)=3a+2b+c=0 (1) Tại B(−31;−272): f′(−31)=3a(−31)2+2b(−31)+c=0
Tính toán: (−31)2=91 Vậy: 3a⋅91=3a 2b⋅(−31)=−32b
⇒3a−32b+c=0 (2)
2. Thế tọa độ các điểm cực trị vào hàm số
A(1;−1): f(1)=a+b+c+d=−1 (3) B(−31;−272): f(−31)=a(−31)3+b(−31)2+c(−31)+d=−272
- (−31)3=−271
- (−31)2=91
Vậy: a(−271)+b(91)+c(−31)+d=−272 ⇒−27a+9b−3c+d=−272 (4)
3. Giải hệ phương trình
Viết lại hệ:
- 3a+2b+c=0
- a+b+c+d=−1
- 3a−32b+c=0
- −27a+9b−3c+d=−272
Giải từng bước:
Từ (1) và (3):
(1): 3a+2b+c=0 (3): 3a−32b+c=0 ⇒ nhân cả hai vế với 3: a−2b+3c=0 (3a)
Trừ (3a) khỏi (1): (3a+2b+c)−(a−2b+3c)=0 3a+2b+c−a+2b−3c=0 2a+4b−2c=0 ⇒a+2b−c=0 ⇒c=a+2b (5)
Thay c=a+2b vào các phương trình khác: (1): 3a+2b+a+2b=0⇒4a+4b=0⇒a+b=0⇒b=−a
Vậy: c = a + 2b = a + 2(-a) = -a
Thay vào (2), a+b+c+d=−1 a+b+c+d=−1 a+(−a)+(−a)+d=−1 −a+d=−1 ⇒d=−1+a
Tiếp tục thế vào (4): −27a+9b−3c+d=−272 Biết b=−a,c=−a,d=−1+a
−27a+9(−a)−3(−a)+(−1+a)=−272 Tính toán từng phần: −27a−9a+3a−1+a=−272
Chuyển hết sang bên trái: −27a−9a+3a+a−1+272=0 Ghép a: (−27a−9a+3a+a)−1+272=0
Rút gọn phân số: −27a−273a+279a+2727a=27(−1−3+9+27)a=2732a
Vậy: 2732a−1+272=0 Đưa tất cả về cùng mẫu: 2732a+272−1=0 2732a+2−27=0 32a+2−27=0 32a=25 a=3225
Vậy: b=−a=−3225 c = -a = -frac{25}{32}$ d = −1+a=−1+3225=−327
4. Kiểm tra các khẳng định
-
a) a+b+c+d=? a+b+c+d=3225−3225−3225−327=−3225−327=−1 Rightarrow ĐÚNG
-
b) Tiếp tuyến (C) tại A song song với trục hoành ⇔f′(1)=0 (Đã biết vì A là cực trị) Rightarrow ĐÚNG
-
c) y=f(x) đồng biến trên (0;1)? + Xét dấu đạo hàm f′(x)=3ax2+2bx+c Thế a=3225, b=−3225, c=−3225:
f′(x)=3⋅3225x2+2(−3225)x−3225
=3275x2−3250x−3225 =321(75×2−50x−25)
Xét trên (0;1), giá trị f′(x) đổi dấu hay không?
Ta có f′(1)=0 (tại x=1 là cực trị) f′(0)=−3225<0 Vậy trên (0,1): f′(x)<0 hoặc chỉ đổi dấu tại cực trị, nhưng kiểm tra đoạn này, hàm không đồng biến trên (0;1), mà nghịch biến. KHÔNG ĐÚNG.
- d) a+2b+3c+4d= Thay số: a+2b+3c+4d=3225+2(−3225)+3(−3225)+4(−327) =3225−50−75−28=32−128=−4 So với đề: a+2b+3c+4d=4 là SAI.
Kết luận
Đáp án đúng là a) và b).