Theo bài ra ta có
(begin{array}{l}f’left( x right) = 12{x^3} + 3a{x^2} + 2bx + c = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – 2x = – 1x = 1end{array} right. Rightarrow f’left( x right) = 12left( {x + 2} right)left( {x + 1} right)left( {x – 1} right),,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 12left( {x + 2} right)left( {{x^2} – 1} right),,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 12{x^3} + 24{x^2} – 12x – 24end{array})
Đồng nhất hệ số ta có (left{ begin{array}{l}3a = 242b = – 12c = – 24end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 8b = – 6c = – 24end{array} right.).
Khi đó (fleft( x right) = 3{x^4} + 8{x^3} – 6{x^2} – 24x + d).
Đặt (fleft( x right) = Af’left( x right) + m{x^2} + nx + p).
( Rightarrow left{ begin{array}{l}fleft( { – 2} right) = 4m + 2n + p = 8 + d,,,,left( 1 right)fleft( { – 1} right) = m – n + p = 13 + d,,,,,,,left( 2 right)fleft( 1 right) = m + n + q = – 19 + d,,,,,,,,left( 3 right)end{array} right.)
Trừ vế theo vế của (2) và (3) ta có ( – 2n = 32 Leftrightarrow n = – 16), khi đó ta có
(begin{array}{l}left{ begin{array}{l}4m + p = – 24 + dm + p = – 3 + dend{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m = – 7p = d + 4end{array} right. Rightarrow fleft( x right) = Af’left( x right) – 7{x^2} – 16x + d + 4end{array})
Đặt (gleft( x right) = – 7{x^2} – 16x + d + 4) ta có (left{ begin{array}{l}gleft( { – 2} right) = fleft( { – 2} right)gleft( { – 1} right) = fleft( { – 1} right)gleft( 1 right) = fleft( 1 right)end{array} right.). Do đó đây là hàm bậc hai đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x).
Xét phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x)
(begin{array}{l} Leftrightarrow 3{x^4} + 8{x^3} – 6{x^2} – 24x + d = – 7{x^2} – 16x + d + 4 Leftrightarrow 3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} – 8x – 4 = 0 Leftrightarrow left( {x – 1} right)left( {3{x^3} + 11{x^2} + 12x + 4} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1x = – 2x = – dfrac{2}{3}x = – 1end{array} right.end{array})
Do đó diện tích cần tính là:
(S = intlimits_{ – 2}^1 {left| {fleft( x right) – gleft( x right)} right|dx} = intlimits_{ – 2}^1 {left| {3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} – 8x – 4} right|dx} )
(,,,, = left| {intlimits_{ – 2}^{ – 1} {left( {3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} – 8x – 4} right)dx} } right|)( + left| {intlimits_{ – 1}^{ – dfrac{2}{3}} {left( {3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} – 8x – 4} right)dx} } right|)( + left| {intlimits_{ – dfrac{2}{3}}^1 {left( {3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} – 8x – 4} right)dx} } right|)
(,,,, = dfrac{{16}}{{15}} + dfrac{{16}}{{405}} + dfrac{{500}}{{81}} = dfrac{{2948}}{{405}})