a. Quãng đường vật A đi được trên mặt phẳng nghiêng khi vật B rời khỏi bề mặt vật A
Bước 1: Điều kiện để B rời khỏi bề mặt A
- Khi vật B rời khỏi vật A, phản lực pháp tuyến giữa B và A bằng 0.
- Hệ vật chuyển động và chịu ràng buộc bởi bảo toàn động lượng theo phương song song với mặt phẳng nghiêng (do không có ngoại lực cản theo phương này).
Bước 2: Bảo toàn động lượng
Giả sử khi B vừa rời khỏi A:
- Vận tốc của A dọc theo mặt phẳng nghiêng: vA
- Vận tốc của B so với mặt phẳng nghiêng: vB,nghie^ng
Do lúc đầu hệ đứng yên: mAvA+mBvB,nghie^ng=0
Bước 3: Bảo toàn cơ năng hệ (vì bỏ qua ma sát)
Gọi h là độ cao mà B rơi xuống kể từ điểm ban đầu cho đến lúc vừa rời khỏi A:
- Tổng động năng thu được: mA2vA2+mB2vB2=mBgh
- vB là vận tốc tuyệt đối của B so với mặt đất.
Bước 4: Liên hệ vận tốc tuyệt đối và tương đối
Vận tốc tương đối giữa B-A (trên mặt phẳng A) và vận tốc A so với mặt phẳng nghiêng:
- Khi B vừa rời khỏi A, vận tốc tương đối giữa B/A là vận tốc dọc theo bề mặt nghiêng (theo hướng L): vB/A=v0 (vận tốc cực đại lúc “bay lên”)
Theo bài toán “trượt khỏi mặt phẳng”, không có lực hướng tâm giữ lại => điều kiện: N=0⇒an=gcosα Dùng hình học, ta biết quãng đường B trượt trên A là L=1,5 m.
Bước 5: Tính quãng đường vật A đi được
Giả sử vật A chuyển động quãng đường s trên mặt phẳng nghiêng trước khi B rời khỏi:
- Trong khi đó, B trượt dọc mặt phẳng nghiêng của A 1 đoạn L.
- Vậy, gọi sA là quãng đường vật A di chuyển.
Theo định luật bảo toàn động lượng: mAsA=mB(Lcosα−sA) Do: nếu A tiến về bên trái một đoạn sA, thì B tiến được L so với A, nghĩa là so với mặt phẳng nghiêng, B tiến Lcosα−sA
Giải ra: mAsA+mBsA=mBLcosα (mA+mB)sA=mBLcosα sA=mA+mBmBLcosα
Thay số: L=1,5 m; cos30∘=23≈0,866 sA=22+1010×1,5×0,866=3212,99≈0,406 m
Đáp án: sA≈0,406 m
b. Vận tốc của vật B so với mặt phẳng ngang tại t=0,25 s
Bước 1: Tính gia tốc tương đối của B so với A
B trượt trên mặt phẳng nghiêng của A (góc α), không ma sát:
- Gia tốc của B so với A: ar=gsinα ar=10×sin30∘=10×0,5=5 m/s2
- Vận tốc tương đối sau t=0,25 s: vr=art=5×0,25=1,25 m/s
Bước 2: Tính vận tốc tuyệt đối của B
Dùng bảo toàn động lượng:
- Vận tốc A cùng chiều mặt phẳng nghiêng: vA
- Vận tốc B so với mặt phẳng nghiêng: vB=vr+vA
Áp dụng bảo toàn động lượng: mAvA+mBvB=0 vA=−mAmBvB Nhưng vB=vr+vA nên: vA=−mAmB(vr+vA) vA+mAmBvA=−mAmBvr vA(1+mAmB)=−mAmBvr vA=−mA+mBmBvr
Thay số: vA=−3210×1,25≈−0,39 m/s
Vận tốc tuyệt đối của B: vB=vr+vA=1,25−0,39=0,86 m/s
Bước 3: Phân tích hướng vận tốc của B so với mặt phẳng ngang
B trượt theo góc α so với phương ngang:
- Vận tốc thành phần ngang: vB,x=vBcosα=0,86×0,866=0,746 m/s
- Vận tốc thành phần thẳng đứng: vB,y=vBsinα=0,86×0,5=0,43 m/s
Nhưng cần vận tốc tổng hợp so với mặt phẳng ngang, xét tất cả các thành phần chuyển động (bao gồm cả chuyển động của vật A). Tuy nhiên, vì mặt phẳng nghiêng nằm trên mặt phẳng ngang, và vectơ vận tốc B theo mặt phẳng ngang gần đúng là thành phần vB,x vừa tính.
Đáp án: vB, ngang≈0,75 m/s
(Tiệm cận chính xác hơn, tổng hợp các thành phần vận tốc, kết quả cũng gần như vậy do vA nhỏ hơn vr đáng kể).
Tóm lại: a) Quãng đường vật A đi được trên mặt phẳng nghiêng: ≈0,406 m. b) Vận tốc của vật B so với mặt phẳng ngang tại t=0,25 s: ≈0,75 m/s.