1) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.
Ta có:
(angle BHE = {90^0}) (do (EH bot AB))
(angle BKE = {90^0}) (do (EK bot BC))
Tứ giác (BHEK) có (angle BHE + angle BKE = {90^0} + {90^0} = {180^0}) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ({180^0})) (đpcm)
2) Chứng minh (BH.BA = BK.BC).
Theo câu a) tứ giác (BHEK) nội tiếp nên (angle BKH = angle BEH) (cùng chắn cung (BH))
Ta có:
(angle BEH + angle EBH = {90^0}) (do tam giác (BHE) vuông tại (H)).
(angle BAE + angle EBH = {90^0}) (do tam giác (ABE) vuông tại (E)).
Nên (angle BEH = angle BAE) (cùng phụ với (angle EBH)).
Mà (angle BKH = angle BEH) (cmt) nên (angle BKH = angle BAE,,,left( { = angle BEH} right)).
Xét (Delta BHK) và (Delta BCA) có:
(angle ABC) chung
(angle BKH = angle BAE = angle BAC) (cmt)
( Rightarrow Delta BHK sim Delta BCA,,left( {g.g} right))
( Rightarrow dfrac{{BH}}{{BC}} = dfrac{{BK}}{{BA}}) (hai cạnh tương ứng)
( Rightarrow BH.BA = BK.BC) (đpcm).
3) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.
Gọi (I’) là giao điểm của HK và EF.
Xét tứ giác (BFEC) có: (angle BFC = angle BEC = {90^0},,left( {gt} right)) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh các góc bằng nhau).
( Rightarrow angle {B_1} = angle {F_1}) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (EC)).
Ta có: (EH//CF) (cùng vuông góc (AB))
( Rightarrow angle {F_1} = angle {E_1}) (so le trong)
Do đó (angle {B_1} = angle {E_1}) (1).
Theo câu a, tứ giác (BHEK) nội tiếp nên (angle {B_1} = angle {H_1}) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung (EK)) (2).
Từ (1) và (2) suy ra (angle {H_1} = angle {E_1})
Tam giác (I’HE) có (angle {H_1} = angle {E_1}) nên là tam giác cân (định nghĩa).
( Rightarrow I’H = I’E) (tính chất tam giác cân) (3)
Lại có:
(angle {H_1} + angle {H_2} = angle BHE = {90^0})
(angle {F_2} + angle {E_1} = {90^0}) (do tam giác (HEF) vuông tại (H)).
Nên (angle {H_2} = angle {F_2}) hay tam giác (I’HF) cân tại (I’) (định nghĩa).
( Rightarrow I’H = I’F) (tính chất tam giác cân) (4)
Từ (3) và (4) suy ra (I’E = I’F) hay (I’) là trung điểm của (EF).
Do đó (I’ equiv I) nên ba điểm (H,I,K) thẳng hàng (đpcm).