Cách Viết phương trình đường phân giác của 2 đường thẳng trong không gian Oxyz
Phương pháp lập phương trình đường phân giác
Giả sử cần viết phương trình đường phân giác d’ của góc nhọn tạo bởi d và ∆
– Bước 1: Tìm giao điểm $A=dcap Delta $
Tính $overrightarrow{{{u}_{d}}}Rightarrow left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|$và $overrightarrow{{{u}_{Delta }}}Rightarrow left| overrightarrow{{{u}_{Delta }}} right|$
Kiểm tra góc giữa $left( overrightarrow{{{u}_{Delta }}};overrightarrow{{{u}_{d}}} right)$, nếu $overrightarrow{{{u}_{Delta }}}.overrightarrow{{{u}_{d}}}>0Rightarrow cosleft( overrightarrow{{{u}_{Delta }}};overrightarrow{{{u}_{d}}} right)>0Rightarrow oversetfrown{left( overrightarrow{{{u}_{Delta }}};overrightarrow{{{u}_{d}}} right)}$là góc nhọn và nếu $overrightarrow{{{u}_{Delta }}}.overrightarrow{{{u}_{d}}}<0Rightarrow cosleft( overrightarrow{{{u}_{Delta }}};overrightarrow{{{u}_{d}}} right)<0Rightarrow oversetfrown{left( overrightarrow{{{u}_{Delta }}};overrightarrow{{{u}_{d}}} right)}$là góc tù.
– Bước 2: Nếu $oversetfrown{left( overrightarrow{{{u}_{Delta }}};overrightarrow{{{u}_{d}}} right)}$là góc nhọn thì $overrightarrow{{{u}_{d’}}}=frac{overrightarrow{{{u}_{d}}}}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|}+frac{overrightarrow{{{u}_{Delta }}}}{left| overrightarrow{{{u}_{Delta }}} right|}$
Nếu $oversetfrown{left( overrightarrow{{{u}_{Delta }}};overrightarrow{{{u}_{d}}} right)}$là góc tù thì $overrightarrow{{{u}_{d’}}}=frac{overrightarrow{{{u}_{d}}}}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|}-frac{overrightarrow{{{u}_{Delta }}}}{left| overrightarrow{{{u}_{Delta }}} right|}$
Cách 2: Lấy điểm B thuộc d, tìm điểm C trên ∆ sao cho AB = AC
Ta được 2 điểm $Cin Delta $thỏa mãn AB = AC
Chọn điểm C sao cho $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}>0Rightarrow oversetfrown{BAC}$là góc nhọn, đường thẳng d’ qua trung điểm I của BC và có vec tơ chỉ phương là $overrightarrow{{{u}_{d’}}}=overrightarrow{AD}=overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}$
Bài tập trắc nghiệm viết phương trình đường phân giác trong không gian có đáp án chi tiét
Bài tập 1: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho đường thẳng $d:left{ begin{array} {} x=1+3t {} y=1+4t {} z=1 end{array} right.$. Gọi ∆ là đường thẳng qua $A(1;1;1)$và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u}=left( 1;-2;2 right)$
Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và ∆ có phương trình là :
A. $left{ begin{array} {} x=1+7t {} y=1+t {} z=1+5t end{array} right.$ B. $left{ begin{array} {} x=-1+2t {} y=-10+11t {} z=-6-5t end{array} right.$ C. $left{ begin{array} {} x=-1+2t {} y=-10+11t {} z=6-5t end{array} right.$ D. $left{ begin{array} {} x=1+3t {} y=1+4t {} z=1-5t end{array} right.$
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại $A(1;1;1)$
Ta có: ${{overrightarrow{u}}_{d}}=(3;4;0)Rightarrow left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|=5$và ${{overrightarrow{u}}_{Delta }}=(1;-2;2)Rightarrow left| overrightarrow{{{u}_{Delta }}} right|=3$
Do ${{overrightarrow{u}}_{Delta }}.{{overrightarrow{u}}_{d}}=-5<0Rightarrow cosleft( {{overrightarrow{u}}_{Delta }}.{{overrightarrow{u}}_{d}} right)<0Rightarrow widehat{left( {{overrightarrow{u}}_{Delta }}.{{overrightarrow{u}}_{d}} right)}$là góc tù
Một VTCP của đường phân giác d’ cần lập là:
$overrightarrow{{{u}_{d’}}}=frac{overrightarrow{{{u}_{d}}}}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|}-frac{overrightarrow{{{u}_{Delta }}}}{left| overrightarrow{{{u}_{Delta }}} right|}=frac{left( 3;4;0 right)}{5}-frac{left( 1;-2;2 right)}{3}=frac{-2}{15}left( -2;11;-5 right)$
Vậy phương trình đường phân giác cần tìm là: $d’:left{ begin{array} {} x=1+2t {} y=1+11t {} z=1-5t end{array} right.$ hay $left{ begin{array} {} x=-1+2t {} y=-10+11t {} z=6-5t end{array} right.$. Chọn C.
Bài tập 2: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho đường thẳng $d:left{ begin{array} {} x=1+t {} y=2+t {} z=3 end{array} right.$. Gọi ∆ là đường thẳng qua $A(1;2;3)$và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u}=left( 0;-7;-1 right)$
Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và ∆ có phương trình là :
A. $left{ begin{array} {} x=1+6t {} y=2+11t {} z=3+8t end{array} right.$ B. $left{ begin{array} {} x=-4+5t {} y=-10+12t {} z=2+t end{array} right.$ C. $left{ begin{array} {} x=-4+5t {} y=-10+12t {} z=-2+t end{array} right.$ D. $left{ begin{array} {} x=1+5t {} y=2-2t {} z=3-t end{array} right.$
Lời giải chi tiết
Đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại $A(1;2;3)$
Ta có: ${{overrightarrow{u}}_{d}}=(1;1;0)Rightarrow left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|=sqrt{2}$và ${{overrightarrow{u}}_{Delta }}=(0;-7;-1)Rightarrow left| overrightarrow{{{u}_{Delta }}} right|=5sqrt{2}$
Do $cos left( {{overrightarrow{u}}_{Delta }}.{{overrightarrow{u}}_{d}} right)=-7<0Rightarrow widehat{left( {{overrightarrow{u}}_{Delta }}.{{overrightarrow{u}}_{d}} right)}$là góc tù
Một VTCP của đường phân giác d’ cần lập là:
$overrightarrow{{{u}_{d’}}}=frac{overrightarrow{{{u}_{d}}}}{left| overrightarrow{{{u}_{d}}} right|}-frac{overrightarrow{{{u}_{Delta }}}}{left| overrightarrow{{{u}_{Delta }}} right|}=frac{left( 1;1;0 right)}{sqrt{2}}-frac{left( 0;-7;-1 right)}{5sqrt{2}}=frac{1}{5sqrt{2}}left( 5;12;1 right)$
Vậy phương trình đường phân giác cần tìm là: $left{ begin{array} {} x=1+5t {} y=2+12t {} z=3+t end{array} right.$ hay$left{ begin{array} {} x=-4+5t {} y=-10+12t {} z=2+t end{array} right.$. Chọn B.
Bài tập 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình đường phân giác ∆ của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau ${{d}_{1}}:frac{x-2}{2}=frac{y+1}{2}=frac{z-1}{1}$và ${{d}_{2}}:frac{x-2}{2}=frac{y+1}{-2}=frac{z-1}{1}$
A. $Delta :left{ begin{array} {} x=2 {} y=-1+t {} z=1 end{array} right.$ B. $Delta :left{ begin{array} {} x=2+2t {} y=-1 {} z=1+t end{array} right.$ C. $Delta :left{ begin{array} {} x=2+2t {} y=-1+t {} z=1 end{array} right.$hoặc $Delta :left{ begin{array} {} x=2+2t {} y=-1 {} z=1+t end{array} right.$ D. $Delta :left{ begin{array} {} x=2+2t {} y=1 {} z=1+t end{array} right.$
Lời giải chi tiết
Dễ thấy d1; d2 cắt nhau tại $A(2;-1;1)$. Lấy điểm $B(4;1;2)in {{d}_{1}}$khi đó AB = 3
Gọi $C(2+2t;-1-2t;1+t)in {{d}_{2}}$. Giải $AB=ACRightarrow 9{{t}^{2}}=9Rightarrow left[ begin{array} {} t=1 {} t=-1 end{array} right.Rightarrow left[ begin{array} {} C(4;-3;2) {} C(0;1;0) end{array} right.$
Ta lấy điểm $C(4;-3;2)Rightarrow left{ begin{array} {} overrightarrow{AB}(2;2;1) {} overrightarrow{AC}(2;-2;1) end{array} right.Rightarrow overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}=1>0$nên $widehat{CAB}$nhọn (như vậy trường hợp $C(0;1;0)$sẽ bị loại)
Trung điểm của BC là $I(4;-1;2)$suy ra phân giác góc nhọn $widehat{CAB}$là $Delta :left{ begin{array} {} x=2+2t {} y=-1 {} z=1+t end{array} right.$. Chọn B.
Bài tập 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho hai đường thẳng ${{Delta }_{1}}:frac{x-1}{1}=frac{y-1}{2}=frac{z-1}{2}$và ${{Delta }_{2}}:frac{x}{1}=frac{y+1}{2}=frac{z-3}{-2}$cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (P). Lập phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi ∆1 và ∆2 nằm trong mặt phẳng (P)
A. $left{ begin{array} {} x=1+t {} y=1-2t(tin mathbb{R}) {} z=1-t end{array} right.$ B. $left{ begin{array} {} x=1 {} y=1(tin mathbb{R}) {} z=1-2t end{array} right.$
C. $left{ begin{array} {} x=1 {} y=1(tin mathbb{R}) {} z=1+t end{array} right.$ D. $left{ begin{array} {} x=1+t {} y=1+2t(tin mathbb{R}) {} z=1 end{array} right.$
Lời giải chi tiết
Gọi $A(1;1;1)$ là giao điểm của $({{Delta }_{1}}),({{Delta }_{2}})$
Ta có: ${{overrightarrow{u}}_{1}}=(1;2;2)Rightarrow left| overrightarrow{{{u}_{1}}} right|=3$và ${{overrightarrow{u}}_{2}}=(1;2;-2)Rightarrow left| overrightarrow{{{u}_{2}}} right|=3$
Do ${{overrightarrow{u}}_{1}}.{{overrightarrow{u}}_{2}}=1>0Rightarrow {{overrightarrow{u}}_{d}}={{overrightarrow{u}}_{1}}+{{overrightarrow{u}}_{2}}=(2;4;0)=2(1;2;0)$
Phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi ∆1 và ∆2 là: $left{ begin{array} {} x=1+t {} y=1+2t(tin mathbb{R}) {} z=1 end{array} right.$. Chọn D.