1) Chứng minh các điểm M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.
Vì ME là tiếp tuyến của (left( O right)) nên ME vuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)
Vì MF là tiếp tuyến của (left( O right)) nên MF vuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO (2)
Từ (1) và (2) suy ra M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.
2) Đoạn OM cắt đường tròn (left( {O;R} right)) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
Gọi (MO cap EF = left{ H right})
Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của (left( O right))
( Rightarrow ME = MF) (tính chất) mà (OE = OF = R) (gt)
( Rightarrow ) MO là đường trung trực của EF
( Rightarrow MO bot EF)
( Rightarrow angle IFE + angle OIF = {90^o},)
Vì (OI = OF = R) nên tam giác OIF cân tại O
( Rightarrow angle OIF = angle OFI) mà (angle MFI + angle OFI = {90^o},;,,,angle IFE + angle OIF = {90^o})
( Rightarrow angle MFI = angle IFE)
( Rightarrow ) FI là phân giác của (angle MFE) (1)
Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của (left( O right))
( Rightarrow ) MI là phân giác của (angle EMF) (tính chất) (2)
Từ (1) và (2) ( Rightarrow ) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF (đpcm)
3) Kẻ đường kính ED của (left( {O;R} right)). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK. Chứng minh P là trung điểm của FK.
Gọi G là giao điểm của tia DF và tia EM.
Ta có (angle EFD = {90^o}) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ( Rightarrow EF bot DG) mà (EF bot OM) (cmt)
( Rightarrow OM//DG) (từ vuông góc đến song song)
Tam giác EDG có (OE = OD,,;,,OM//DG,, Rightarrow ME = MG)(tính chất đường trung bình)
Áp dụng định lý Ta-let cho tam giác EDM có (PK//ME) (cùng vuông góc với ED) ta được: (frac{{PK}}{{ME}} = frac{{DP}}{{DM}}) (3)
Áp dụng định lý Ta-let cho tam giác MDG có (PF//MG) (cùng vuông góc với ED) ta được: (frac{{PE}}{{MG}} = frac{{DP}}{{DM}}) (4)
Từ (3) và (4) suy ra (frac{{PK}}{{ME}} = frac{{PF}}{{MG}}) mà (ME = MG) (cmt)
( Rightarrow PK = PF,, Rightarrow ) P là trung điểm của FK.