1) Do (O) tiếp xúc với AB, AC tại E,F nên AB, AC là tiếp tuyến
( Rightarrow angle AEO = angle AFO = {90^0})
Xét tứ giác AEOF có (angle AEO + angle AFO = {90^0} + {90^0} = {180^0})
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AEOF nội tiếp (dhnb)
2) Ta có (angle IOE = angle IOH = dfrac{1}{2}angle EOH) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
(angle HOK = angle KOF = dfrac{1}{2}angle HOF) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
( Rightarrow angle IOK = angle IOH + angle HOK = dfrac{1}{2}(angle EOH + angle HOF) = dfrac{1}{2}EOF) (1)
Ta có OB = OC (gt), (angle B = angle C) ((Delta ABC) cân), (angle BEO = angle CFO = {90^0})
( Rightarrow Delta OBE = Delta OCF)(cạnh huyền – góc nhọn)
( Rightarrow angle BOE = angle COF)
(angle ABC = {90^0} – angle BOE = dfrac{1}{2}left( {{{180}^0} – 2angle BOE} right) = dfrac{1}{2}left( {{{180}^0} – angle BOE – angle COF} right) = dfrac{1}{2}angle EOF) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (angle IOK = angle ABC)
Ta có (left. begin{array}{l}angle IOK = angle ABC = angle ACBangle IOK + angle IOB + angle KOC = {180^0}angle ACB + angle CKO + angle KOC = {180^0}end{array} right} Rightarrow angle IOB = angle CKO)
Kết hợp (angle OBI = angle OCK Rightarrow Delta OBI)~(Delta KCOleft( {g.g} right))
3) Do (Delta ABC) cân nên (OA bot BC)
Xét tam giác vuông ABO có: (A{B^2} = A{O^2} + B{O^2} Rightarrow AO = sqrt {{5^2} – {{left( {dfrac{6}{2}} right)}^2}} = 4,,(cm))
Áp dụng hệ thức lượng cho (Delta AOB) ta có:
+) (O{B^2} = BE.AB Rightarrow BE = dfrac{9}{5}cm)
+) (OE.AB = BO.AO Rightarrow OE = dfrac{{3.4}}{5} = 2,4,,(cm))
Ta có (Delta OBI)~(Delta KCO Rightarrow dfrac{{OB}}{{KC}} = dfrac{{BI}}{{OC}} Rightarrow KC.BI = OB.OC) không đổi
({S_{Delta AIK}} = {S_{Delta ABC}} – {S_{BIKC}} Rightarrow {S_{Delta AIK}}) lớn nhất khi ({S_{BIKC}}) nhỏ nhất
Ta có ({S_{BIKC}} = {S_{BOI}} + {S_{IOK}} + {S_{KOC}} = dfrac{1}{2}left( {OE.BI + OH.IK + OF.KC} right) = dfrac{1}{2}Rleft( {BI + IK + KC} right))
(begin{array}{l} = dfrac{1}{2}Rleft( {BI + IH + HK + CK} right) = dfrac{1}{2}Rleft( {BI + CK + IE + KF} right) = dfrac{1}{2}Rleft( {2BI + 2CK – BE – CF} right) = Rleft( {BI + CK – BE} right) le R.left( {2sqrt {BI.CK} – BE} right) = Rleft( {2R – dfrac{9}{5}} right) = dfrac{{36}}{5}c{m^2}end{array})
Dấu “=” có khi (BI = CK Rightarrow AI = AK)( Rightarrow Delta AIK) cân hay H là điểm chính giữa cung EF