Mình nghĩ ra hai cách giải thích hình học cho độ dài nhân đôi (hoặc bình phương): diện tích và tương tự.
Đã có một câu trả lời hay giải thích về diện tích rồi. Còn một cách khác hay lắm dùng tam giác đồng dạng. Mình sẽ cố gắng giải thích bằng lời, nhưng dĩ nhiên hình vẽ sẽ tốt hơn.
Vẽ một tam giác vuông trong đường tròn đơn vị như thường lệ. Giờ dựng đường cao lên cạnh huyền từ góc vuông. Tam giác nhỏ hơn, nằm ngoài (phía trên bên phải, có một đỉnh nằm trên đường tròn đơn vị) đồng dạng với tam giác lớn; hệ số là sin(θ) (so sánh cạnh huyền: 1 cho tam giác lớn và sin(θ) cho cạnh đứng). Điều đó có nghĩa là cạnh của tam giác nhỏ này tương ứng với cạnh đứng (sin(θ)) của tam giác lớn có độ dài sin2(θ). (Đây là cạnh tạo thành phần ngoài của bán kính đường tròn đơn vị, kéo dài từ điểm đường cao chạm đến đường tròn đơn vị.)
Giờ nhớ lại câu hỏi: tốc độ thay đổi của độ dài đó là bao nhiêu? Để tìm ra điều này, ta cần so sánh hai đoạn nhỏ của bán kính đường tròn đơn vị khi góc thay đổi. Nhưng điều đó khó; hướng luôn thay đổi. Đây là lúc bạn có thể cho học sinh thấy cách tư duy khác biệt: mình muốn làm cho bán kính ở một góc thẳng hàng với bán kính ở một góc tăng thêm, vậy nếu nó thẳng hàng? Nghĩa là: nếu mình thay đổi quan điểm và xoay trục tọa độ thay vì bán kính thì sao?
Giờ bán kính giữ nguyên vị trí, và trục tọa độ xoay. Hãy để ý điều này: trong cách nhìn này, góc vuông của tam giác lớn của chúng ta (cái nằm trên trục x) vẽ ra một vòng tròn nhỏ quanh bán kính khi trục tọa độ xoay.
Thực tế, khi trục tọa độ xoay từ θ = 0° (bán kính nằm trên trục x dương) đến θ = 90° (trục tọa độ xoay theo chiều kim đồng hồ, bán kính giờ nằm trên trục y dương) ta vẽ ra một nửa vòng tròn—đó là 180° (gấp đôi 90°). Đây là gợi ý đầu tiên cho thấy sẽ có góc gấp đôi liên quan.
Hãy xem xét độ dài sin2(θ) đang xét. Bằng cách vẽ bán kính của vòng tròn nhỏ này ra đến góc vuông của tam giác lớn, ta thấy nó là 1/2 – cos(2θ)/2.
Thật hấp dẫn khi lấy đạo hàm của biểu thức đó một cách đại số. Một lựa chọn khác là vẽ tất cả các đường thẳng ở một số θ và θ + ∆θ, và ta có thể thấy (giống như cách ta đã làm để chứng minh đạo hàm của cos là âm sin, v.v.) rằng sự chênh lệch nhỏ về độ dài dọc theo bán kính đường tròn đơn vị xấp xỉ sin(2θ)∆θ. Cả hai đều là lựa chọn hợp lý imo!
Hy vọng điều này hữu ích! Cho mình biết nếu cần làm một cái gì đó trên desmos nhé. Viết ra khó nhưng vẽ hình thì dễ.